Ciprus

Задача №1. Пусть

a, b, c, x, y

$a,b,c,x,y$ — действительные числа такие, что

a^{3} + a x + y = 0

$a^3 + ax + y = 0$ ,

b^{3} + b x + y = 0

$b^3 + bx + y = 0$ и

c^{3} + c x + y = 0

$c^3 + cx + y = 0$ . Докажите, что если

a, b, c

$a,b,c$ попарно различные числа, что их сумма равна 0. ( Ciprus )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №2. Две окружности разных радиусов с центрами в точках

O_{1}

$O_{1}$ и

O_{2}

$O_{2}$ пересекаются в точках

A

$A$ и

B

$B$ так, что центры

O_{1}

$O_{1}$ и

O_{2}

$O_{2}$ лежат на разных сторонах от прямой

A B

$AB$ . Прямые

B O_{1}

$BO_{1}$ и

B O_{2}

$BO_{2}$ пересекают свои соответствующие окружности повторно в точках

B_{1}

$B_{1}$ и

B_{2}

$B_{2}$ . Пусть

M

$M$ — середина отрезка

B_{1} B_{2}

$B_{1}B_{2}$ .

M_{1}

$M_{1}$ и

M_{2}

$M_{2}$ — точки взятые на окружностях с центрами

O_{1}

$O_{1}$ и

O_{2}

$O_{2}$ соответственно так, что

∠ A O_{1} M_{1} = ∠ A O_{2} M_{2}

$\angle AO_{1}M_{1}= \angle AO_{2}M_{2}$ ,

B_{1}

$B_{1}$ лежит внутри

∠ A O_{1} M_{1}

$\angle AO_1M_1$ ,

B

$B$ лежит внутри

∠ A O_{2} M_{2}

$\angle AO_2M_2$ . Докажите, что

∠ M M_{1} B = ∠ M M_{2} B

$\angle MM_{1}B = \angle MM_{2}B$ . ( Ciprus )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. Пусть

\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} - y^{2}} + \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = k

$\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2} + \dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = k$ . Выразите следующее выражение через

k

$k$ :

E (x, y) = \frac{x^{8} + y^{8}}{x^{8} - y^{8}} - \frac{x^{8} - y^{8}}{x^{8} + y^{8}} .

$E(x,y) = \dfrac{x^8 + y^8}{x^8-y^8} - \dfrac{ x^8-y^8}{x^8+y^8}.$ ( Ciprus )
комментарий/решение(1) олимпиада