Ciprus

Задача №1. Пусть

$a,b,c,x,y$ — действительные числа такие, что

$a^3 + ax + y = 0$ ,

$b^3 + bx + y = 0$ и

$c^3 + cx + y = 0$ . Докажите, что если

$a,b,c$ попарно различные числа, что их сумма равна 0. ( Ciprus )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №2. Две окружности разных радиусов с центрами в точках

$O_{1}$ и

$O_{2}$ пересекаются в точках

$A$ и

$B$ так, что центры

$O_{1}$ и

$O_{2}$ лежат на разных сторонах от прямой

$AB$ . Прямые

$BO_{1}$ и

$BO_{2}$ пересекают свои соответствующие окружности повторно в точках

$B_{1}$ и

$B_{2}$ . Пусть

$M$ — середина отрезка

$B_{1}B_{2}$ .

$M_{1}$ и

$M_{2}$ — точки взятые на окружностях с центрами

$O_{1}$ и

$O_{2}$ соответственно так, что

$\angle AO_{1}M_{1}= \angle AO_{2}M_{2}$ ,

$B_{1}$ лежит внутри

$\angle AO_1M_1$ ,

$B$ лежит внутри

$\angle AO_2M_2$ . Докажите, что

$\angle MM_{1}B = \angle MM_{2}B$ . ( Ciprus )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. Пусть

$\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2} + \dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = k$ . Выразите следующее выражение через

$k$ :

$E(x,y) = \dfrac{x^8 + y^8}{x^8-y^8} - \dfrac{ x^8-y^8}{x^8+y^8}.$ ( Ciprus )
комментарий/решение(1) олимпиада