1-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровБелград, Югославия, 1997 год

Пусть $\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2} + \dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = k$. Выразите следующее выражение через $k$: $E(x,y) = \dfrac{x^8 + y^8}{x^8-y^8} - \dfrac{ x^8-y^8}{x^8+y^8}.$ ( Ciprus )

Комментарий/решение

$$\frac {x^2+y^2}{x^2-y^2}+\frac {x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{2(x^4+y^4)}{x^4-y^4}=k\Rightarrow \frac{x^4+y^4}{x^4-y^4}=\frac{k}{2}$$

$$\frac{x^4+y^4}{x^4-y^4}+\frac{x^4-y^4}{x^4+y^4}=\frac{k}{2}+\frac{2}{k}=\frac{k^2+4}{2k}=\frac{2(x^8+y^8)}{x^8-y^8}\Rightarrow \frac{x^8+y^8}{x^8-y^8}=\frac{k^2+4}{4k}$$

$$\frac{x^8+y^8}{x^8-y^8}-\frac{x^8-y^8}{x^8+y^8}=\frac{k^2+4}{4k}-\frac{4k}{k^2+4}=\frac{k^4-8k^2+16}{4k(k^2+4)}$$