Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

1-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Белград, Югославия, 1997 год


Задача №1.  Внутри единичного квадрата даны 9 точек. Докажите, что из них можно выбрать три, которые образуют треугольник с площадью не более 18. ( Bulgaria )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Пусть x2+y2x2y2+x2y2x2+y2=k. Выразите следующее выражение через k: E(x,y)=x8+y8x8y8x8y8x8+y8. ( Ciprus )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC, точки N и M — середины сторон AB и CA соответственно. Прямые BI и CI пересекают MN в точках K и L соответственно. Докажите, что AI+BI+CI>BC+KL. ( Greece )
комментарий/решение(3)
Задача №4.  Определите вид треугольника со сторонами a,b,c и радиусом описанной окружности R, для которого выполнено соотношение R(b+c)=abc. ( Romania )
комментарий/решение(1)