1-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Белград, Югославия, 1997 год
Задача №1. Внутри единичного квадрата даны 9 точек. Докажите, что из них можно выбрать три, которые образуют треугольник с площадью не более 18.
(
Bulgaria
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Пусть x2+y2x2−y2+x2−y2x2+y2=k. Выразите следующее выражение через k: E(x,y)=x8+y8x8−y8−x8−y8x8+y8.
(
Ciprus
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC, точки N и M — середины сторон AB и CA соответственно. Прямые BI и CI пересекают MN в точках K и L соответственно. Докажите, что AI+BI+CI>BC+KL.
(
Greece
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. Определите вид треугольника со сторонами a,b,c и радиусом описанной окружности R, для которого выполнено соотношение R(b+c)=a√bc.
(
Romania
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)