Математикадан жасөспірімдер арасындағы 1-ші Балкан олимпиадасы 1997 жыл, Белград, Югославия

Есеп №1. Бірлік квадрат ішінен 9 нүкте берілген. Үшбұрыш ауданы $\dfrac 18$ - ден аспайтындай олардың ішінен үш нүктені үшбұрыш төбелері ретінде таңдауға болатынын дәлелдеңіздер. ( Bulgaria )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. $\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2} + \dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = k$ болсын. Келесі өрнекті $k$ арқылы өрнектеңіздер: $E(x,y) = \dfrac{x^8 + y^8}{x^8-y^8} - \dfrac{ x^8-y^8}{x^8+y^8}.$ ( Ciprus )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі $I$ нүктесі болсын, ал $N$ және $M$ нүктелері сәйкесінше $AB$ және $CA$ қабырғаларының орталары болсын. $BI$ және $CI$ түзулері $MN$-ді сәйкесінше $K$ және $L$ нүктелерінде қияды. $AI+BI+CI > BC+KL$ екенін дәлелдеңіздер. ( Greece )
комментарий/решение(3)

---

Есеп №4. Қабырғалары $a,b,c$ және сырттай сызылған шеңбер радиусы $R$ болатын, $R(b+c) = a\sqrt{bc}$ қатынасы орындалатын үшбұрыш түрін анықтаңыздар. ( Romania )
комментарий/решение(2)

---