1-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровБелград, Югославия, 1997 год

Внутри единичного квадрата даны 9 точек. Докажите, что из них можно выбрать три, которые образуют треугольник с площадью не более $\frac 18$. ( Bulgaria )

Комментарий/решение

Заметим, что площадь любого треугольника ,лежащего внутри прямоугольника , не больше половины площади этого прямоугольника. Разобьем средними линиями данный единичный квадрат на 4 равных квадрата, площадь каждого из которых будет 1/4. По принципу Дирихле получаем что хотя бы в одном из меньших квадратов есть не меньше 3 различных точек (назовем их A,B и C) и по нашему замечанию получаем что площадь треугольника ABC не больше 1/(4*2) = 1/8 , что и требовалось доказать.