Математикадан жасөспірімдер арасындағы 1-ші Балкан олимпиадасы 1997 жыл, Белград, Югославия

Бірлік квадрат ішінен 9 нүкте берілген. Үшбұрыш ауданы $\dfrac 18$ - ден аспайтындай олардың ішінен үш нүктені үшбұрыш төбелері ретінде таңдауға болатынын дәлелдеңіздер. ( Bulgaria )

Комментарий/решение

Заметим, что площадь любого треугольника ,лежащего внутри прямоугольника , не больше половины площади этого прямоугольника. Разобьем средними линиями данный единичный квадрат на 4 равных квадрата, площадь каждого из которых будет 1/4. По принципу Дирихле получаем что хотя бы в одном из меньших квадратов есть не меньше 3 различных точек (назовем их A,B и C) и по нашему замечанию получаем что площадь треугольника ABC не больше 1/(4*2) = 1/8 , что и требовалось доказать.