1-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Белград, Югославия, 1997 год
Определите вид треугольника со сторонами a,b,c и радиусом описанной окружности R, для которого выполнено соотношение R(b+c)=a√bc.
(
Romania
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть дан треугольник ABC ( AB=c,AC=b,BC=a). Тогда R⋅(b+c)=a⋅√bc⇔R⋅(b+c)√bc=a. По неравенству Коши имеем (b+c)√bc≥2 и так как любая хорда в окружности не длиннее диаметра этой окружности, то 2R≥a. Теперь получаем R⋅(b+c)√bc≥2R≥a и R⋅(b+c)√bc=a, значит 2R=a , то есть a — это диаметр описанной окружности △ABC и ∠A=90∘ и т.к. (b+c)√bc=2 , то b=c , то есть треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.