Processing math: 100%

1-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Белград, Югославия, 1997 год


Определите вид треугольника со сторонами a,b,c и радиусом описанной окружности R, для которого выполнено соотношение R(b+c)=abc. ( Romania )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 6   7 | проверено модератором
8 года 10 месяца назад #

Пусть дан треугольник ABC ( AB=c,AC=b,BC=a). Тогда R(b+c)=abcR(b+c)bc=a. По неравенству Коши имеем (b+c)bc2 и так как любая хорда в окружности не длиннее диаметра этой окружности, то 2Ra. Теперь получаем R(b+c)bc2Ra и R(b+c)bc=a, значит 2R=a , то есть a — это диаметр описанной окружности ABC и A=90 и т.к. (b+c)bc=2 , то b=c , то есть треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный.