1-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровБелград, Югославия, 1997 год

Определите вид треугольника со сторонами $a,b,c$ и радиусом описанной окружности $R$, для которого выполнено соотношение $R(b+c) = a\sqrt{bc}$. ( Romania )

Комментарий/решение

Пусть дан треугольник $ABC$ ( $AB=c, AC=b, BC=a$). Тогда $R \cdot (b+c) = a \cdot \sqrt{bc} \Leftrightarrow R \cdot \frac{(b+c)}{ \sqrt{bc}} = a$. По неравенству Коши имеем $ \frac{(b+c)}{ \sqrt{bc}} \geq 2$ и так как любая хорда в окружности не длиннее диаметра этой окружности, то $2R \geq a$. Теперь получаем $R \cdot \frac{(b+c)}{ \sqrt{bc}} \geq 2R \geq a$ и $R \cdot \frac{(b+c)}{\sqrt{bc}} = a$, значит $2R = a$ , то есть $a$ — это диаметр описанной окружности $ \triangle ABC $ и $ \angle A = 90^\circ $ и т.к. $ \frac{(b+c)}{ \sqrt{bc}} = 2$ , то $b=c$ , то есть треугольник $ABC$ прямоугольный и равнобедренный.

$a\sqrt{bc} =R(b+c) \ge 2R\sqrt{bc} \longrightarrow a\ge 2R=\dfrac{a}{sin\alpha}\rightarrow sin\alpha=1\rightarrow \alpha=90^\circ;$

$R(b+c)=a\sqrt{bc}=2R\sqrt{bc} \rightarrow b+c=2\sqrt{bc} \rightarrow \sqrt{b}^2-2\sqrt{b}\cdot \sqrt{c}+\sqrt{c}^2=(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2=0 \rightarrow b=c=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$