Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан жасөспірімдер арасындағы 1-ші Балкан олимпиадасы 1997 жыл, Белград, Югославия


Қабырғалары a,b,c және сырттай сызылған шеңбер радиусы R болатын, R(b+c)=abc қатынасы орындалатын үшбұрыш түрін анықтаңыздар. ( Romania )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 6   7 | Модератормен тексерілді
9 года назад #

Пусть дан треугольник ABC ( AB=c,AC=b,BC=a). Тогда R(b+c)=abcR(b+c)bc=a. По неравенству Коши имеем (b+c)bc2 и так как любая хорда в окружности не длиннее диаметра этой окружности, то 2Ra. Теперь получаем R(b+c)bc2Ra и R(b+c)bc=a, значит 2R=a , то есть a — это диаметр описанной окружности ABC и A=90 и т.к. (b+c)bc=2 , то b=c , то есть треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный.

  0
17 дней 17 часов назад #

abc=R(b+c)2Rbca2R=asinαsinα=1α=90;

R(b+c)=abc=2Rbcb+c=2bcb22bc+c2=(bc)2=0b=c=a22