Processing math: 100%

3-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Пловдив, Болгария, 1999 год


Задача №1.  Пусть a,b,c,x,y — действительные числа такие, что a3+ax+y=0, b3+bx+y=0 и c3+cx+y=0. Докажите, что если a,b,c попарно различные числа, что их сумма равна 0. ( Ciprus )
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Пусть An=23n+36n+2+56n+2 при всех целых неотрицательных n. Найдите наибольший общий делитель чисел A0, A1, , A1999. ( Romania )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Пусть S — квадрат со стороной 20 и M множество точек, состоящее из вершин S и еще из 1999 точек, лежащих внутри S. Докажите, что существует треугольник с вершинами из M, площадь которого не превосходит 110. ( Yugoslavia )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  В треугольнике ABC верно AB=AC. Пусть D точка на стороне BC такая, что BC>BD>DC>0, C1 и C2 — описанные окружности треугольников ABD и ADC соответственно. Пусть BB и CC — диаметры в этих двух окружностях, а M — середина отрезка BC. Докажите, что площадь треугольника MBC не зависит от выбора точки D. ( Greece )
комментарий/решение(1)