3-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Пловдив, Болгария, 1999 год
Задача №1. Пусть a,b,c,x,y — действительные числа такие, что a3+ax+y=0, b3+bx+y=0 и c3+cx+y=0. Докажите, что если a,b,c попарно различные числа, что их сумма равна 0.
(
Ciprus
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Пусть An=23n+36n+2+56n+2 при всех целых неотрицательных n. Найдите наибольший общий делитель чисел A0, A1, …, A1999.
(
Romania
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Пусть S — квадрат со стороной 20 и M множество точек, состоящее из вершин S и еще из 1999 точек, лежащих внутри S. Докажите, что существует треугольник с вершинами из M, площадь которого не превосходит 110.
(
Yugoslavia
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В треугольнике ABC верно AB=AC. Пусть D точка на стороне BC такая, что BC>BD>DC>0, C1 и C2 — описанные окружности треугольников ABD и ADC соответственно. Пусть BB′ и CC′ — диаметры в этих двух окружностях, а M — середина отрезка B′C′. Докажите, что площадь треугольника MBC не зависит от выбора точки D.
(
Greece
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)