қазақша
русскийМатематикадан жасөспірімдер арасындағы 2-ші Балкан олимпиадасы 1998 жыл, Афины, Греция
Есеп №1. $ a^3 + ax + y = 0$, $ b^3 + bx + y = 0$ және $ c^3 + cx + y = 0$ орындалатындай $ a,b,c,x,y$ нақты сандары болсын. Егер $ a,b,c$ сандары әр түрлі сандар болса, онда олардың қосындысы 0-ге тең екенін дәлелдеңіздер.
(
Ciprus
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. Барлық $n$ теріс емес бүтін сандар үшін $A_n = 2^{3n}+3^{6n+2}+5^{6n+2}$ болсын. $A_0$, $A_1$, $\ldots$, $A_{1999}$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін табыңыздар.
(
Romania
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $S$ — қабырғасы 20 болатын квадрат, $S$ квадратының төбелері және $S$ ішінде жататын 1999 нүктелер $M$ нүктелер жиынын құрайды. $M$ жиынынан ауданы $\dfrac 1{10}$-ден аспайтын үшбұрыш құрайтындай үш нүкте табылатынын дәлелдеңіздер.
(
Yugoslavia
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышында $AB=AC$. $BC > BD > DC > 0$ болатындай $BC$ қабырғасынан $D$ нүктесі алынған, $\mathcal{C}_1$ және $\mathcal{C}_2$ — сәйкесінше $ABD$ және $ADC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберлер. $BB'$ және $CC'$ қабырғалары осы шеңберлердің диаметрлері болсын, ал $M$ нүктесі $B'C'$ кесіндісінің ортасы болсын. $MBC$ үшбұрышының ауданы $D$ нүктесін таңдаудан тәуелсіз екенін дәлелдеңіздер.
(
Greece
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)