Математикадан жасөспірімдер арасындағы 2-ші Балкан олимпиадасы 1998 жыл, Афины, Греция

Есеп №1.

$a^3 + ax + y = 0$ ,

$b^3 + bx + y = 0$ және

$c^3 + cx + y = 0$ орындалатындай

$a,b,c,x,y$ нақты сандары болсын. Егер

$a,b,c$ сандары әр түрлі сандар болса, онда олардың қосындысы 0-ге тең екенін дәлелдеңіздер. ( Ciprus )
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Барлық

$n$ теріс емес бүтін сандар үшін

$A_n = 2^{3n}+3^{6n+2}+5^{6n+2}$ болсын.

$A_0$ ,

$A_1$ ,

$\ldots$ ,

$A_{1999}$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін табыңыздар. ( Romania )
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$S$ — қабырғасы 20 болатын квадрат,

$S$ квадратының төбелері және

$S$ ішінде жататын 1999 нүктелер

$M$ нүктелер жиынын құрайды.

$M$ жиынынан ауданы

$\dfrac 1{10}$ -ден аспайтын үшбұрыш құрайтындай үш нүкте табылатынын дәлелдеңіздер. ( Yugoslavia )
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышында

$AB=AC$ .

$BC > BD > DC > 0$ болатындай

$BC$ қабырғасынан

$D$ нүктесі алынған,

$\mathcal{C}_1$ және

$\mathcal{C}_2$ — сәйкесінше

$ABD$ және

$ADC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберлер.

$BB'$ және

$CC'$ қабырғалары осы шеңберлердің диаметрлері болсын, ал

$M$ нүктесі

$B'C'$ кесіндісінің ортасы болсын.

$MBC$ үшбұрышының ауданы

$D$ нүктесін таңдаудан тәуелсіз екенін дәлелдеңіздер. ( Greece )
комментарий/решение(1)