6-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Тыргу-Муреш, Румыния, 2002 год

Две окружности разных радиусов с центрами в точках $O_{1}$ и $O_{2}$ пересекаются в точках $A$ и $B$ так, что центры $O_{1}$ и $O_{2}$ лежат на разных сторонах от прямой $AB$. Прямые $BO_{1}$ и $BO_{2}$ пересекают свои соответствующие окружности повторно в точках $B_{1}$ и $B_{2}$. Пусть $M$ — середина отрезка $B_{1}B_{2}$. $M_{1}$ и $M_{2}$ — точки взятые на окружностях с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ соответственно так, что $\angle AO_{1}M_{1}= \angle AO_{2}M_{2}$, $B_{1}$ лежит внутри $\angle AO_1M_1$, $B$ лежит внутри $\angle AO_2M_2$. Докажите, что $\angle MM_{1}B = \angle MM_{2}B$. ( Ciprus )

Комментарий/решение

Заметим что B1,A,B2 лежат на одной прямой (угол В1АВ=В2АВ=90°)

Заметим что $МО_2$ средняя линия$\triangle B_1B_2B$,значит $MO_2 \parallel BB_1$.

Также $MO_1 \parallel BO_2$ $\rightarrow O_1MO_2B$- параллелограм.

Так как $\angle O_1AO_2 = \angle O_1BO_2 = \angle O_1MO_2$, то $O_1,M,A,O_2$ лежат на одной окружности.

По этому $ \angle AO_1M =\angle AO_2M \rightarrow \angle M_1O_1M = \angle M_2O_2M$.

$O_1M=BO_2=O_2M_2$ и $O_2M=BO_1=O_1M_1$ и $\angle M_1O_1M=\angle M_2O_2M$ => $\triangle M_1O_1M=\triangle M_2O_2M$ => $MM_1=MM_2$

$\angle M_1BA=\angle M_1O_1A/2$ и $\angle M_2BA = 180°- \angle AO_2M/2 \rightarrow$ В лежит на $M_2M_1 \rightarrow \angle MM_1B = \angle MM_2B$