Математикадан жасөспірімдер арасындағы 6-шы Балкан олимпиадасы 2002 жыл, Тыргу-Муреш, Румыния
Центрі O1 және O2 болатын әр түрлі радиусты шеңберлер A және B нүктелерінде қиылысады. O1 және O2 центрлері AB түзуінің екі жағында жатады. BO1 және BO2 түзулері өзінің сәйкес шеңберлерін қайта B1 және B2 нүктелерінде қияды. M нүктесі B1B2 кесіндісінің орасы болсын. Центрлері O1 және O2 болатын шеңберлерінен ∠AO1M1=∠AO2M2 болатындай M1 және M2 нүктелері адынған, B1 нүктесі ∠AO1M1 бұрышының ішінде жатады, B нүктесі ∠AO2M2 бұрышының ішінде жатады. ∠MM1B=∠MM2B екенін дәлелдеңіздер.
(
Ciprus
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Заметим что B1,A,B2 лежат на одной прямой (угол В1АВ=В2АВ=90°)
Заметим что МО2 средняя линия△B1B2B,значит MO2∥BB1.
Также MO1∥BO2 →O1MO2B- параллелограм.
Так как ∠O1AO2=∠O1BO2=∠O1MO2, то O1,M,A,O2 лежат на одной окружности.
По этому ∠AO1M=∠AO2M→∠M1O1M=∠M2O2M.
O1M=BO2=O2M2 и O2M=BO1=O1M1 и ∠M1O1M=∠M2O2M => △M1O1M=△M2O2M => MM1=MM2
∠M1BA=∠M1O1A/2 и \angle M_2BA = 180°- \angle AO_2M/2 \rightarrow В лежит на M_2M_1 \rightarrow \angle MM_1B = \angle MM_2B
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.