Processing math: 94%

Математикадан жасөспірімдер арасындағы 6-шы Балкан олимпиадасы 2002 жыл, Тыргу-Муреш, Румыния


Центрі O1 және O2 болатын әр түрлі радиусты шеңберлер A және B нүктелерінде қиылысады. O1 және O2 центрлері AB түзуінің екі жағында жатады. BO1 және BO2 түзулері өзінің сәйкес шеңберлерін қайта B1 және B2 нүктелерінде қияды. M нүктесі B1B2 кесіндісінің орасы болсын. Центрлері O1 және O2 болатын шеңберлерінен AO1M1=AO2M2 болатындай M1 және M2 нүктелері адынған, B1 нүктесі AO1M1 бұрышының ішінде жатады, B нүктесі AO2M2 бұрышының ішінде жатады. MM1B=MM2B екенін дәлелдеңіздер. ( Ciprus )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
7 года назад #

Заметим что B1,A,B2 лежат на одной прямой (угол В1АВ=В2АВ=90°)

Заметим что МО2 средняя линияB1B2B,значит MO2BB1.

Также MO1BO2 O1MO2B- параллелограм.

Так как O1AO2=O1BO2=O1MO2, то O1,M,A,O2 лежат на одной окружности.

По этому AO1M=AO2MM1O1M=M2O2M.

O1M=BO2=O2M2 и O2M=BO1=O1M1 и M1O1M=M2O2M => M1O1M=M2O2M => MM1=MM2

M1BA=M1O1A/2 и \angle M_2BA = 180°- \angle AO_2M/2 \rightarrow В лежит на M_2M_1 \rightarrow \angle MM_1B = \angle MM_2B