Ciprus

Есеп №1.

$a^3 + ax + y = 0$ ,

$b^3 + bx + y = 0$ және

$c^3 + cx + y = 0$ орындалатындай

$a,b,c,x,y$ нақты сандары болсын. Егер

$a,b,c$ сандары әр түрлі сандар болса, онда олардың қосындысы 0-ге тең екенін дәлелдеңіздер. ( Ciprus )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №2. Центрі

$O_{1}$ және

$O_{2}$ болатын әр түрлі радиусты шеңберлер

$A$ және

$B$ нүктелерінде қиылысады.

$O_{1}$ және

$O_{2}$ центрлері

$AB$ түзуінің екі жағында жатады.

$BO_{1}$ және

$BO_{2}$ түзулері өзінің сәйкес шеңберлерін қайта

$B_{1}$ және

$B_{2}$ нүктелерінде қияды.

$M$ нүктесі

$B_{1}B_{2}$ кесіндісінің орасы болсын. Центрлері

$O_{1}$ және

$O_{2}$ болатын шеңберлерінен

$\angle AO_{1}M_{1}= \angle AO_{2}M_{2}$ болатындай

$M_{1}$ және

$M_{2}$ нүктелері адынған,

$B_{1}$ нүктесі

$\angle AO_1M_1$ бұрышының ішінде жатады,

$B$ нүктесі

$\angle AO_2M_2$ бұрышының ішінде жатады.

$\angle MM_{1}B = \angle MM_{2}B$ екенін дәлелдеңіздер. ( Ciprus )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №3.

$\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2} + \dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = k$ болсын. Келесі өрнекті

$k$ арқылы өрнектеңіздер:

$E(x,y) = \dfrac{x^8 + y^8}{x^8-y^8} - \dfrac{ x^8-y^8}{x^8+y^8}.$ ( Ciprus )
комментарий/решение(1) олимпиада