қазақша
русскийМатематикадан жасөспірімдер арасындағы 6-шы Балкан олимпиадасы 2002 жыл, Тыргу-Муреш, Румыния
Есеп №1. $ABC$ үшбұрышында $CA = CB$. $P$ нүктесі үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің $C$ нүктесі жатпайтын $AB$ доғасында жатады. $D$ — $C$ нүктесінен $PB$ түзуіне түсірілген перпендикуляр табаны. $PA + PB = 2 \cdot PD$ екенін дәлелдеңіздер.
(
Greece
)
комментарий/решение(8)
комментарий/решение(8)
Есеп №2. Центрі $O_{1}$ және $O_{2}$ болатын әр түрлі радиусты шеңберлер $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. $O_{1}$ және $O_{2}$ центрлері $AB$ түзуінің екі жағында жатады. $BO_{1}$ және $BO_{2}$ түзулері өзінің сәйкес шеңберлерін қайта $B_{1}$ және $B_{2}$ нүктелерінде қияды. $M$ нүктесі $B_{1}B_{2}$ кесіндісінің орасы болсын. Центрлері $O_{1}$ және $O_{2}$ болатын шеңберлерінен $\angle AO_{1}M_{1}= \angle AO_{2}M_{2}$ болатындай $M_{1}$ және $M_{2}$ нүктелері адынған, $B_{1}$ нүктесі $\angle AO_1M_1$ бұрышының ішінде жатады, $B$ нүктесі $\angle AO_2M_2$ бұрышының ішінде жатады. $\angle MM_{1}B = \angle MM_{2}B$ екенін дәлелдеңіздер.
(
Ciprus
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $d_k=(d_2 + d_4) \cdot d_6$ шарты орындалып $1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_{16} =n$ дәл 16 натурал бөлгіштері болатындай барлық $n$ натурал сандарын табыңыздар, мұндағы $k = d_5$.
(
Bulgaria
)
комментарий/решение(10)
комментарий/решение(10)
Есеп №4. Барлық $a,b,c$ оң нақты сандары үшін $ \dfrac{1}{b(a+b)}+ \dfrac{1}{c(b+c)}+ \dfrac{1}{a(c+a)} \geq \dfrac{27}{2(a+b+c)^2} $ екенін дәлелдеңіздер.
(
Greece
)
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)