Математикадан жасөспірімдер арасындағы 6-шы Балкан олимпиадасы 2002 жыл, Тыргу-Муреш, Румыния

Есеп №1.

$ABC$ үшбұрышында

$CA = CB$ .

$P$ нүктесі үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің

$C$ нүктесі жатпайтын

$AB$ доғасында жатады.

$D$ —

$C$ нүктесінен

$PB$ түзуіне түсірілген перпендикуляр табаны.

$PA + PB = 2 \cdot PD$ екенін дәлелдеңіздер. ( Greece )
комментарий/решение(8)

Есеп №2. Центрі

$O_{1}$ және

$O_{2}$ болатын әр түрлі радиусты шеңберлер

$A$ және

$B$ нүктелерінде қиылысады.

$O_{1}$ және

$O_{2}$ центрлері

$AB$ түзуінің екі жағында жатады.

$BO_{1}$ және

$BO_{2}$ түзулері өзінің сәйкес шеңберлерін қайта

$B_{1}$ және

$B_{2}$ нүктелерінде қияды.

$M$ нүктесі

$B_{1}B_{2}$ кесіндісінің орасы болсын. Центрлері

$O_{1}$ және

$O_{2}$ болатын шеңберлерінен

$\angle AO_{1}M_{1}= \angle AO_{2}M_{2}$ болатындай

$M_{1}$ және

$M_{2}$ нүктелері адынған,

$B_{1}$ нүктесі

$\angle AO_1M_1$ бұрышының ішінде жатады,

$B$ нүктесі

$\angle AO_2M_2$ бұрышының ішінде жатады.

$\angle MM_{1}B = \angle MM_{2}B$ екенін дәлелдеңіздер. ( Ciprus )
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$d_k=(d_2 + d_4) \cdot d_6$ шарты орындалып

$1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_{16} =n$ дәл 16 натурал бөлгіштері болатындай барлық

$n$ натурал сандарын табыңыздар, мұндағы

$k = d_5$ . ( Bulgaria )
комментарий/решение(10)

Есеп №4. Барлық

$a,b,c$ оң нақты сандары үшін

$\dfrac{1}{b(a+b)}+ \dfrac{1}{c(b+c)}+ \dfrac{1}{a(c+a)} \geq \dfrac{27}{2(a+b+c)^2}$ екенін дәлелдеңіздер. ( Greece )
комментарий/решение(6)