6-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Тыргу-Муреш, Румыния, 2002 год

Найдите все натуральные числа $n$, которые имеют в точности 16 натуральных делителей $1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_{16} =n$, такие, что $d_k=(d_2 + d_4) \cdot d_6$, где $k = d_5$. ( Bulgaria )

Комментарий/решение

Можете глянуть решение тут: http://schoolexercisebooks.blogspot.com/2010/10/6th-junior-balkan-mathematical-olympiad.html

чел чел, нам нужны решения! нам нужны решения!

If d2 > 2, then all divisors are odd. But (d2 + d4) is a divisor and must be even. Contradiction. So d2 = 2.

If d3 = 3, then 6 divides N (where we write the number as N), so either d4 = 6, or d5 = 6 or d6 = 6. If d4 = 6, then (d2 + d4) = 8 is a divisor, so 4 is a divisor, so d4 = 4. Contradiction. If d5 = 6, then we are given that d6 = (d2 + d4) d6 > d6. Contradiction. If d6 = 6, then d4 = 4, d5 = 5. But we are given that d5 = (d2 + d4) d6 > d5. Contradiction. So d3 > 3. So 3 is not a factor of N.

We are told that (d2 + d4) d6 is a factor, so (d2 + d4) = d4 + 2 must be a factor. If d4 + 1 is also a factor, then we have three consecutive factors. One of them must be a multiple of 3. But we have just shown that 3 does not divide N. So d4 + 1 is not a factor. Hence d5 = d4 + 2. Neither d4 nor d5 are multiples of 3. So d5 must be 1 greater than a multiple of 3.

We have d5 = k and that dk is a factor. So in particular k ≤ 16 (since there are only 16 factors). Thus d5 = 1, 4, 7, 10, 13 or 16. Obviously d5 ≥ 5, so 1 and 4 are too small.

If d5 = 7, then since 3 and 6 are not factors we must have d3 = 4, d4 = 5. So 10 and 14 are factors. So d7 ≤ 10. But we are given that d7 = (d2 + d4) d6 > (2 + 5) 7 = 49. Contradiction.

If d5 = 10, then d4 = 8. So 4 and 5 are also factors, but only d3 is available. Contradiction.

If d5 = 16, then d4 = 14. So 4, 7 and 8 are also factors, but only d3 is available. Contradiction.

The only remaining possibility is d5 = 13. That implies d4 = 11. So d3 is the only factor between 4 and 10. So it cannot be 5, 6, 8, 9 or 10. So it must be 4 or 7.

Suppose it is 4. N has prime factors 2, 11, 13. If it has another prime factor p, then it would have 16 factors, leaving aside multiples of 4 (because each of 2, 11, 13 and p could be in or out). Contradiction. So 2, 11, 13 are its only prime factors. If 112 or 132 divides N, then N has at least 3·3·2 = 18 factors (there are 3 possibilities for 2, 3 for one of 11/13 and 2 for the other). Contradiction. So 23must divide N. Contradiction (we are supposed to have exhausted the factors under 10).

So the only remaining possibility is d3 = 7. That gives N = 2002 and it is easy to check that d13 = 182 = (d2 + d4) d6.

ты еще на русский это переведи

Как скажешь)

Если d2 > 2, то все делители нечетны. Но (d2 + d4) является делителем и должно быть четным. Противоречие. Итак, d2 = 2.

Если d3 = 3, то 6 делит N (где мы записываем число как N), поэтому либо d4 = 6, либо d5 = 6, либо d6 = 6. Если d4 = 6, то (d2 + d4) = 8 является делителем, поэтому 4 является делителем, поэтому d4 = 4. Противоречие. Если d5 = 6, то нам дано, что d6 = (d2 + d4) d6 > d6. Противоречие. Если d6 = 6, то d4 = 4, d5 = 5. Но нам дано, что d5 = (d2 + d4) d6 > d5. Противоречие. Таким образом, d3 > 3. Таким образом, 3 не является фактором N.

Нам говорят, что (d2 + d4) d6 является фактором, поэтому (d2 + d4) = d4 + 2 должен быть фактором. Если d4 + 1 также является фактором, то у нас есть три последовательных фактора. Один из них должен быть кратен 3. Но мы только что показали, что 3 не делит N. Поэтому d4 + 1 не является фактором. Следовательно, d5 = d4 + 2. Ни d4, ни d5 не кратны 3. Таким образом, d5 должен быть на 1 больше, чем кратно 3.

У нас есть d5 = k, и этот dk является фактором. Так, в частности, k ≤ 16 (поскольку существует только 16 факторов). Таким образом, d5 = 1, 4, 7, 10, 13 или 16. Очевидно, что d5 ≥ 5, поэтому 1 и 4 слишком малы.

Если d5 = 7, то, поскольку 3 и 6 не являются факторами, мы должны иметь d3 = 4, d4 = 5. Таким образом, 10 и 14 являются факторами. Таким образом, d7 ≤ 10. Но нам дано, что d7 = (d2 + d4) d6 > (2 + 5) 7 = 49. Противоречие.

Если d5 = 10, то d4 = 8. Таким образом, 4 и 5 также являются факторами, но доступен только d3. Противоречие.

Если d5 = 16, то d4 = 14. Таким образом, 4, 7 и 8 также являются факторами, но доступен только d3. Противоречие.

Единственная оставшаяся возможность-d5 = 13. Это означает, что d4 = 11. Таким образом, d3 является единственным фактором между 4 и 10. Поэтому это не может быть 5, 6, 8, 9 или 10. Так что это должно быть 4 или 7.

Предположим, что это 4. N имеет простые множители 2, 11, 13. Если у него есть еще один простой фактор p, то у него будет 16 факторов, не считая кратных 4 (потому что каждый из 2, 11, 13 и p может входить или выходить). Противоречие. Таким образом, 2, 11, 13 являются его единственными основными факторами. Если 112 или 132 делит N, то N имеет по крайней мере 3·3·2 = 18 факторов (есть 3 возможности для 2, 3 для одного из 11/13 и 2 для другого). Противоречие. Таким образом, 23must делят N. Противоречие (предполагается, что мы исчерпали факторы, не превышающие 10).

Таким образом, единственная оставшаяся возможность-d3 = 7. Это дает N = 2002, и легко проверить, что d13 = 182 = (d2 + d4) d6

чел то реально сарказм не понял, ну ниче бывает

хаахаха совсем забыл о существовании картинок в этом сайте

По идее решение многих международных олимпиад можно найти на сайте $aops$ (буду надеяться вы не будите копировать их решение). Да в правду впервые вижу картинку которая не является чертежом)

pokpokben, Если бы ты перевёл это на $LATEX$ цены бы не было)