қазақша
русскийGreece
Есеп №1. $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі $I$ нүктесі болсын, ал $N$ және $M$ нүктелері сәйкесінше $AB$ және $CA$ қабырғаларының орталары болсын. $BI$ және $CI$ түзулері $MN$-ді сәйкесінше $K$ және $L$ нүктелерінде қияды. $AI+BI+CI > BC+KL$ екенін дәлелдеңіздер. ( Greece )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №2. $ABCDE$ бесбұрышы $AB=AE=CD=1$, $\angle ABC=\angle DEA=90^\circ$ және $BC+DE=1$ болатын дөңес бесбұрыш болсын. Бесбұрыш ауданын есептеңіздер. ( Greece )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышында $AB=AC$. $BC > BD > DC > 0$ болатындай $BC$ қабырғасынан $D$ нүктесі алынған, $\mathcal{C}_1$ және $\mathcal{C}_2$ — сәйкесінше $ABD$ және $ADC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберлер. $BB'$ және $CC'$ қабырғалары осы шеңберлердің диаметрлері болсын, ал $M$ нүктесі $B'C'$ кесіндісінің ортасы болсын. $MBC$ үшбұрышының ауданы $D$ нүктесін таңдаудан тәуелсіз екенін дәлелдеңіздер. ( Greece )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышында $CA = CB$. $P$ нүктесі үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің $C$ нүктесі жатпайтын $AB$ доғасында жатады. $D$ — $C$ нүктесінен $PB$ түзуіне түсірілген перпендикуляр табаны. $PA + PB = 2 \cdot PD$ екенін дәлелдеңіздер. ( Greece )
комментарий/решение(8) олимпиада
Есеп №5. Барлық $a,b,c$ оң нақты сандары үшін $ \dfrac{1}{b(a+b)}+ \dfrac{1}{c(b+c)}+ \dfrac{1}{a(c+a)} \geq \dfrac{27}{2(a+b+c)^2} $ екенін дәлелдеңіздер. ( Greece )
комментарий/решение(6) олимпиада
Есеп №6. $ABC$ теңқабырғалы үшбұрышында $D$ және $E$ нүктелері сәйкесінше $AB$ және $AC$ қабырғаларында жатады. Егер $DF$ және $EF$ ($F\in AE$, $G\in AD$) $ADE$ үшбұрышының бұрыштарының биссектрисалары болса, онда $DEF$ және $DEG$ үшбұрыштарының аудандарының қосындысы $ABC$ үшбұрышының ауданынан аспайтынын дәлелдеңіздер. Қандай жағдайда теңдік орындалады? ( Greece )
комментарий/решение(2) олимпиада