Greece

Есеп №1.

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі

$I$ нүктесі болсын, ал

$N$ және

$M$ нүктелері сәйкесінше

$AB$ және

$CA$ қабырғаларының орталары болсын.

$BI$ және

$CI$ түзулері

$MN$ -ді сәйкесінше

$K$ және

$L$ нүктелерінде қияды.

$AI+BI+CI > BC+KL$ екенін дәлелдеңіздер. ( Greece )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №2.

$ABCDE$ бесбұрышы

$AB=AE=CD=1$ ,

$\angle ABC=\angle DEA=90^\circ$ және

$BC+DE=1$ болатын дөңес бесбұрыш болсын. Бесбұрыш ауданын есептеңіздер. ( Greece )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышында

$AB=AC$ .

$BC > BD > DC > 0$ болатындай

$BC$ қабырғасынан

$D$ нүктесі алынған,

$\mathcal{C}_1$ және

$\mathcal{C}_2$ — сәйкесінше

$ABD$ және

$ADC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберлер.

$BB'$ және

$CC'$ қабырғалары осы шеңберлердің диаметрлері болсын, ал

$M$ нүктесі

$B'C'$ кесіндісінің ортасы болсын.

$MBC$ үшбұрышының ауданы

$D$ нүктесін таңдаудан тәуелсіз екенін дәлелдеңіздер. ( Greece )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышында

$CA = CB$ .

$P$ нүктесі үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің

$C$ нүктесі жатпайтын

$AB$ доғасында жатады.

$D$ —

$C$ нүктесінен

$PB$ түзуіне түсірілген перпендикуляр табаны.

$PA + PB = 2 \cdot PD$ екенін дәлелдеңіздер. ( Greece )
комментарий/решение(8) олимпиада

Есеп №5. Барлық

$a,b,c$ оң нақты сандары үшін

$\dfrac{1}{b(a+b)}+ \dfrac{1}{c(b+c)}+ \dfrac{1}{a(c+a)} \geq \dfrac{27}{2(a+b+c)^2}$ екенін дәлелдеңіздер. ( Greece )
комментарий/решение(6) олимпиада

Есеп №6.

$ABC$ теңқабырғалы үшбұрышында

$D$ және

$E$ нүктелері сәйкесінше

$AB$ және

$AC$ қабырғаларында жатады. Егер

$DF$ және

$EF$ (

$F\in AE$ ,

$G\in AD$ )

$ADE$ үшбұрышының бұрыштарының биссектрисалары болса, онда

$DEF$ және

$DEG$ үшбұрыштарының аудандарының қосындысы

$ABC$ үшбұрышының ауданынан аспайтынын дәлелдеңіздер. Қандай жағдайда теңдік орындалады? ( Greece )
комментарий/решение(2) олимпиада