Математикадан жасөспірімдер арасындағы 5-ші Балкан олимпиадасы 2001 жыл, Никосия, Кипр
ABC теңқабырғалы үшбұрышында D және E нүктелері сәйкесінше AB және AC қабырғаларында жатады. Егер DF және EF (F∈AE, G∈AD) ADE үшбұрышының бұрыштарының биссектрисалары болса, онда DEF және DEG үшбұрыштарының аудандарының қосындысы ABC үшбұрышының ауданынан аспайтынын дәлелдеңіздер. Қандай жағдайда теңдік орындалады?
(
Greece
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Первым делом запишем площади треугольников DEF и DEG через площадь DEA:
S(DEF)S(DEA)=EFEA=DEAD+DE,S(DEF)=S(DEA)⋅DEAD+DE
S(DEG)S(DEA)=DGDA=DEAE+DE,S(DEG)=S(DEA)⋅DEAE+DE
∑S=S(DEA)⋅DE(1AD+DE+1AE+DE)≤S(ABC)(!!!),
AD⋅AE⋅sin602⋅DE(1AD+DE+1AE+DE)≤AB2⋅sin602,
Пусть DE=a,AD=b и AE=c, тогда надо доказать левую часть:
abc(1b+a+1c+a)≤a2≤AB2
bc(2a+b+c)≤a(a+c)(a+b),
abc+b2c+c2b≤a3+a2b+a2c(!!!)
Поскольку ∠A=60, то, по теореме косинусов, a2=b2+c2−bc,⇒a2≥bc по Коши,
a3≥abc;
a2b≥b2c;
a2c≥c2b;
Суммируя эти неравенства получаем требуемое.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.