Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан жасөспірімдер арасындағы 5-ші Балкан олимпиадасы 2001 жыл, Никосия, Кипр


ABC теңқабырғалы үшбұрышында D және E нүктелері сәйкесінше AB және AC қабырғаларында жатады. Егер DF және EF (FAE, GAD) ADE үшбұрышының бұрыштарының биссектрисалары болса, онда DEF және DEG үшбұрыштарының аудандарының қосындысы ABC үшбұрышының ауданынан аспайтынын дәлелдеңіздер. Қандай жағдайда теңдік орындалады? ( Greece )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
4 года 7 месяца назад #

admin, обратите внимание, в задании опечатка: написано "Если DF и EF...."

А нужно написать "Если DF и EG...."

  2
3 года 9 месяца назад #

Первым делом запишем площади треугольников DEF и DEG через площадь DEA:

S(DEF)S(DEA)=EFEA=DEAD+DE,S(DEF)=S(DEA)DEAD+DE

S(DEG)S(DEA)=DGDA=DEAE+DE,S(DEG)=S(DEA)DEAE+DE

S=S(DEA)DE(1AD+DE+1AE+DE)S(ABC)(!!!),

ADAEsin602DE(1AD+DE+1AE+DE)AB2sin602,

Пусть DE=a,AD=b и AE=c, тогда надо доказать левую часть:

abc(1b+a+1c+a)a2AB2

bc(2a+b+c)a(a+c)(a+b),

abc+b2c+c2ba3+a2b+a2c(!!!)

Поскольку A=60, то, по теореме косинусов, a2=b2+c2bc,a2bc по Коши,

a3abc;

a2bb2c;

a2cc2b;

Суммируя эти неравенства получаем требуемое.