Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

5-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Никосия, Кипр, 2001 год


Задача №1.  Решите уравнение a3+b3+c3=2001 в натуральных числах. ( Romania )
комментарий/решение(5)
Задача №2.  В треугольнике ABC C=90 и CACB. Пусть CH — высота и CL биссектриса. Докажите, что для любой точки X прямой CL, отличной от C, углы XAC и XBC будут отличны. Также докажите, что для любой точки прямой CH, отличной от C, углы YAC и YBC отличны. ( Bulgaria )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  В равностороннем треугольнике ABC точки D и E лежат на сторонах AB и AC соответственно. Если DF и EG (FAE, GAD) — биссектрисы углов треугольника ADE, докажите что сумма площадей треугольников DEF и DEG не превышает площади треугольника ABC. При каких условиях выполняется равенство? ( Greece )
комментарий/решение(2)
Задача №4.  Пусть N — выпуклый 1415-угольник с периметром 2001. Докажите, что существует 3 вершины из N, которые образуют треугольник площади, меньше 1. ( Yugoslavia )
комментарий/решение(1)