5-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Никосия, Кипр, 2001 год
Задача №2. В треугольнике ABC ∠C=90∘ и CA≠CB. Пусть CH — высота и CL биссектриса. Докажите, что для любой точки X прямой CL, отличной от C, углы ∠XAC и ∠XBC будут отличны. Также докажите, что для любой точки прямой CH, отличной от C, углы ∠YAC и ∠YBC отличны.
(
Bulgaria
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В равностороннем треугольнике ABC точки D и E лежат на сторонах AB и AC соответственно. Если DF и EG (F∈AE, G∈AD) — биссектрисы углов треугольника ADE, докажите что сумма площадей треугольников DEF и DEG не превышает площади треугольника ABC. При каких условиях выполняется равенство?
(
Greece
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Пусть N — выпуклый 1415-угольник с периметром 2001. Докажите, что существует 3 вершины из N, которые образуют треугольник площади, меньше 1.
(
Yugoslavia
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)