Математикадан жасөспірімдер арасындағы 5-ші Балкан олимпиадасы 2001 жыл, Никосия, Кипр

Есеп №1. Натурал сандар жиынында

$a^3+b^3+c^3=2001$ теңдеуін шешіңіздер. ( Romania )
комментарий/решение(5)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышында

$\angle C = 90^\circ$ және

$CA \neq CB$ .

$CH$ — биіктік, ал

$CL$ биссектриса болсын.

$CL$ түзуіндегі

$C$ нүктесінен өзге кез келген

$X$ нүктесі үшін

$\angle XAC$ және

$\angle XBC$ бұрыштары тең емес екенін дәлелдеңіздер. Сол сияқты,

$CH$ түзуіндегі

$C$ нүктесінен өзге

$Y$ кез келген нүктесі үшін

$\angle YAC$ және

$\angle YBC$ бұрыштары тең емес екенін дәлелдеңіздер. ( Bulgaria )
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$ABC$ теңқабырғалы үшбұрышында

$D$ және

$E$ нүктелері сәйкесінше

$AB$ және

$AC$ қабырғаларында жатады. Егер

$DF$ және

$EF$ (

$F\in AE$ ,

$G\in AD$ )

$ADE$ үшбұрышының бұрыштарының биссектрисалары болса, онда

$DEF$ және

$DEG$ үшбұрыштарының аудандарының қосындысы

$ABC$ үшбұрышының ауданынан аспайтынын дәлелдеңіздер. Қандай жағдайда теңдік орындалады? ( Greece )
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$N$ — периметрі 2001 болатын дөңес 1415-бұрыш болсын. Үшбұрыш құрағанда ауданы 1-ден кіші болатын

$N$ -нан 3 нүкте табылатынын дәлелдеңіздер. ( Yugoslavia )
комментарий/решение(1)