қазақша
русскийМатематикадан жасөспірімдер арасындағы 5-ші Балкан олимпиадасы 2001 жыл, Никосия, Кипр
Есеп №1. Натурал сандар жиынында $a^3+b^3+c^3=2001$ теңдеуін шешіңіздер.
(
Romania
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышында $\angle C = 90^\circ$ және $CA \neq CB$. $CH$ — биіктік, ал $CL$ биссектриса болсын. $CL$ түзуіндегі $C$ нүктесінен өзге кез келген $X$ нүктесі үшін $\angle XAC$ және $ \angle XBC$ бұрыштары тең емес екенін дәлелдеңіздер. Сол сияқты, $CH$ түзуіндегі $C$ нүктесінен өзге $Y$ кез келген нүктесі үшін $\angle YAC$ және $ \angle YBC$ бұрыштары тең емес екенін дәлелдеңіздер.
(
Bulgaria
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $ABC$ теңқабырғалы үшбұрышында $D$ және $E$ нүктелері сәйкесінше $AB$ және $AC$ қабырғаларында жатады. Егер $DF$ және $EF$ ($F\in AE$, $G\in AD$) $ADE$ үшбұрышының бұрыштарының биссектрисалары болса, онда $DEF$ және $DEG$ үшбұрыштарының аудандарының қосындысы $ABC$ үшбұрышының ауданынан аспайтынын дәлелдеңіздер. Қандай жағдайда теңдік орындалады?
(
Greece
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. $N$ — периметрі 2001 болатын дөңес 1415-бұрыш болсын. Үшбұрыш құрағанда ауданы 1-ден кіші болатын $N$-нан 3 нүкте табылатынын дәлелдеңіздер.
(
Yugoslavia
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)