5-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Никосия, Кипр, 2001 год
Комментарий/решение:
a≥b≥c. деп алайық. n3≡0,1,8(mod9)
Егер n=3k болса онда, 9|n3. Егер n=3k±1 болса онда n3=27k3±27k2+9k±1=9m±1.
2001=222⋅9+3. a3=9x+1,b3=9y+1,c3=9z+1.
a,b,c→3k+1.. {1,4,7,10,13,...}.
Егер a≥13 онда a3≥2197>2001. Егер a=10,b3+c3=1001,b=10,c=1.
(a,b,c)∈{(10,10,1),(10,1,10),(1,10,10)}.
{n^3} \equiv 0,1,8 \pmod 9
2001 \equiv 3 \pmod 9
{a^3,b^3,c^3} \equiv 1 \pmod 9
{a^3,b^3,c^3} \equiv 1 \pmod 3
Так как a,b,c по моду 3 дают 1 значит возможные варианты a,b,c=10,7,4,1
Возьмем как a^3 \geq b^3 \geq c^3
3a^3 \geq 2001 ,a^3 \geq 667 a=10
2b^3 \geq 1001
b=10 , c=1
{a,b,c}={10,10,1}{10,1,10}{1,10,10}
Приведите пример где я скопировал его , может там есть что то похожое но я выкладывал его почти пол года назад и даже особо не понимал их разницу. Так что рот закройте.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.