Математикадан жасөспірімдер арасындағы 5-ші Балкан олимпиадасы 2001 жыл, Никосия, Кипр

Натурал сандар жиынында $a^3+b^3+c^3=2001$ теңдеуін шешіңіздер. ( Romania )

Комментарий/решение

$a\geq b\geq c.$ деп алайық. $n^3\equiv 0,1,8(mod9) $

Егер $n=3k$ болса онда, $9|n^3.$ Егер $n=3k\pm 1$ болса онда $n^3=27k^3\pm 27k^2+9k\pm 1=9m\pm 1.$

$2001=222\cdot 9+3.$ $a^3=9x+1, b^3=9y+1, c^3=9z+1.$

$a,b,c \rightarrow 3k+1.$. $\left \{ 1,4,7,10,13,... \right \}.$

Егер $a\geq 13$ онда $a^3 \geq 2197>2001.$ Егер $a=10, b^3+c^3=1001, b=10, c=1.$

$(a,b,c)\in \left \{ (10,10,1), (10,1,10), (1,10,10) \right \}.$

${n^3} \equiv 0,1,8 \pmod 9$

$2001 \equiv 3 \pmod 9$

${a^3,b^3,c^3} \equiv 1 \pmod 9$

${a^3,b^3,c^3} \equiv 1 \pmod 3$

Так как a,b,c по моду 3 дают 1 значит возможные варианты a,b,c=10,7,4,1

Возьмем как $a^3 \geq b^3 \geq c^3$

$3a^3 \geq 2001$ ,$a^3 \geq 667$ $a=10$

$2b^3 \geq 1001$

$b=10 , c=1$

{a,b,c}={10,10,1}{10,1,10}{1,10,10}

Мне кажеться уважаемый kanatulyNurasyl вам кажется

Приведите пример где я скопировал его , может там есть что то похожое но я выкладывал его почти пол года назад и даже особо не понимал их разницу. Так что рот закройте.