2-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Афины, Греция, 1998 год

Найдите все пары натуральных чисел $ (x,y)$, для которых справедливо равенство $x^y = y^{x - y}.$ ( Albania )

Комментарий/решение

$Ответ:(1,1);(8,2);(9,3).$

Левая часть уравнение целое, тогда и правая часть целая, но это выполняется когда $x\geq y$. Тогда $x$ делится на $y$, $x=yk$ (где $k$ натуральное число). Тогда уравнение приводится к виду: $k=y^{k-2}$. При $y\geq2$ уравнение не имеет решение при $k\geq5$ (это доказывается с помощью мат. индукции для неравенство $2^{k-2}\geq k$). Теперь перебором $k=4,3,2,1$, найдём ответы $(8,2),(9,3)$. А если $y=1$, тогда $x=1$.

Упущено еще одно решение $x=9, y=3$.

Кстати, ответ $(8;4)$ не подходит. Наверное, случайно, взяли $4$ как $y^2$? Ведь вместо этого должно быть $(8;2)$

О, спасибо. Интересно то что те кто поставили 6 лайков не нашли ошибку) Исправил.

Updated: да, вы правы я здесь ошибся. Исправил

Updated(2): pokpokben, я не заходил на матол более недели, кто-то критиковал мои задачи, если да хотел бы ответить и исправить

какой ужас.. Abensad накручивает лайки в матоле..