Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

2-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Афины, Греция, 1998 год


Найдите все пары натуральных чисел (x,y), для которых справедливо равенство xy=yxy. ( Albania )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   10
3 года 7 месяца назад #

Ответ:(1,1);(8,2);(9,3).

Левая часть уравнение целое, тогда и правая часть целая, но это выполняется когда xy. Тогда x делится на y, x=yk (где k натуральное число). Тогда уравнение приводится к виду: k=yk2. При y2 уравнение не имеет решение при k5 (это доказывается с помощью мат. индукции для неравенство 2k2k). Теперь перебором k=4,3,2,1, найдём ответы (8,2),(9,3). А если y=1, тогда x=1.

пред. Правка 2   1
3 года 7 месяца назад #

Упущено еще одно решение x=9,y=3.

Кстати, ответ (8;4) не подходит. Наверное, случайно, взяли 4 как y2? Ведь вместо этого должно быть (8;2)

пред. Правка 4   1
3 года 7 месяца назад #

О, спасибо. Интересно то что те кто поставили 6 лайков не нашли ошибку) Исправил.

Updated: да, вы правы я здесь ошибся. Исправил

Updated(2): pokpokben, я не заходил на матол более недели, кто-то критиковал мои задачи, если да хотел бы ответить и исправить

  2
3 года 9 месяца назад #

какой ужас.. Abensad накручивает лайки в матоле..