Математикадан жасөспірімдер арасындағы 3-ші Балкан олимпиадасы 1999 жыл, Пловдив, Болгария

Есеп №1.

$\underbrace{111\ldots 11}_{1997}\underbrace{22\ldots 22}_{1998}5$ саны (1997 бірліктен және 1998 екіліктен тұратын) толық квадрат екенін дәлелдеңіздер. ( Yugoslavia )
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$ABCDE$ бесбұрышы

$AB=AE=CD=1$ ,

$\angle ABC=\angle DEA=90^\circ$ және

$BC+DE=1$ болатын дөңес бесбұрыш болсын. Бесбұрыш ауданын есептеңіздер. ( Greece )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Төмендегі теңдік орындалатындай барлық

$(x,y)$ натурал сандар жұптарын табыңыздар:

$x^y = y^{x - y}$ ( Albania )
комментарий/решение(4)

Есеп №4. Тек үш әр түрлі цифрдан тұратын және барлық сандар 16-ға бөлгенде әр түрлі қалдықтар беретін 16 үштаңбалы натурал сандар табылады ма? ( Bulgaria )
комментарий/решение(9)