Albania

Есеп №1. Төмендегі теңдік орындалатындай барлық

$(x,y)$ натурал сандар жұптарын табыңыздар:

$x^y = y^{x - y}$ ( Albania )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышында

$AB$ және

$AC$ қабырғаларын сәйкесінше

$Q$ және

$P$ нүктелерінде жанайтындай

$EF$ диаметрі

$BC$ қабырғасында жататын жарты шеңбер жүргізілген.

$EP$ және

$FQ$ түзулерінің қиылысу нүктесі

$ABC$ үшбұрышындағы

$A$ төбесінен түсірілген биіктікте жататынын дәлелдеңіздер. ( Albania )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №3. Найдите все тройки действительных чисел

$(a,b,c)$ удовлетворяющие условиям

$\begin{cases} a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}, \\a^2+b^2+c^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}.\end{cases}$ ( Albania )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №4. Найдите все пары простых чисел

$(p,q)$ для которых число

$1 + \frac{p^q - q^p}{p + q}$ также простое число. ( Albania )
комментарий/решение(4) олимпиада