қазақша
русскийМатематикадан жасөспірімдер арасындағы 4-ші Балкан олимпиадасы 2000 жыл, Охрид, Македония
Есеп №1. $x$, $y$ — оң нақты сандар. Осы сандар үшін мына теңдік орындалады: $ x^3 + y^3 + (x + y)^3 + 30xy = 2000 $ $x + y = 10$ екенін дәлелдеңіздер.
(
Romania
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $n^2+3^n$ саны толық квадрат болатындай барлық $n$ натурал сандарын табыңыздар.
(
Bulgaria
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышында $AB$ және $AC$ қабырғаларын сәйкесінше $Q$ және $P$ нүктелерінде жанайтындай $EF$ диаметрі $BC$ қабырғасында жататын жарты шеңбер жүргізілген. $EP$ және $FQ$ түзулерінің қиылысу нүктесі $ABC$ үшбұрышындағы $A$ төбесінен түсірілген биіктікте жататынын дәлелдеңіздер.
(
Albania
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №4. Теннис турнирінде $2n$ ұл бала және $n$ қыз бала қатысып жатыр. Әрбір қатысушы қалған қатысушылардың әрбірімен бір-бір ойыннан ойнайды. Ұл балалар қыздарға қарағанда $\dfrac 75$ есе көп ойын ұтты. Теннисте тең ойын болмайтыны белгілі. $n$-ді табыңыздар.
(
Serbia
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)