Математикадан жасөспірімдер арасындағы 4-ші Балкан олимпиадасы 2000 жыл, Охрид, Македония

Есеп №1.

$x$ ,

$y$ — оң нақты сандар. Осы сандар үшін мына теңдік орындалады:

$x^3 + y^3 + (x + y)^3 + 30xy = 2000$

$x + y = 10$ екенін дәлелдеңіздер. ( Romania )
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$n^2+3^n$ саны толық квадрат болатындай барлық

$n$ натурал сандарын табыңыздар. ( Bulgaria )
комментарий/решение(3)

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышында

$AB$ және

$AC$ қабырғаларын сәйкесінше

$Q$ және

$P$ нүктелерінде жанайтындай

$EF$ диаметрі

$BC$ қабырғасында жататын жарты шеңбер жүргізілген.

$EP$ және

$FQ$ түзулерінің қиылысу нүктесі

$ABC$ үшбұрышындағы

$A$ төбесінен түсірілген биіктікте жататынын дәлелдеңіздер. ( Albania )
комментарий/решение(5)

Есеп №4. Теннис турнирінде

$2n$ ұл бала және

$n$ қыз бала қатысып жатыр. Әрбір қатысушы қалған қатысушылардың әрбірімен бір-бір ойыннан ойнайды. Ұл балалар қыздарға қарағанда

$\dfrac 75$ есе көп ойын ұтты. Теннисте тең ойын болмайтыны белгілі.

$n$ -ді табыңыздар. ( Serbia )
комментарий/решение(3)