Математикадан жасөспірімдер арасындағы 7-ші Балкан олимпиадасы 2003 жыл, Измир, Турция

Жазықтықта ешбір үшеуі бір түзудің бойында жатпайтындай $n$ нүкте берілсін және ол нүктелерді $A_1,A_2,\ldots,A_n$ әріптерімен қалай белгілесек те $A_1A_2\ldots A_n$ қисығы өз-өзін қимайды. $n$-нің мүмкін болатын ең үлкен мәнін табыңыздар. ( Romania )

Комментарий/решение

Ответ: $3$

Для треугольника очевидно , что ломанная не будет самопересекающейся . Рассмотрим произвольный четырехугольник такой, что никакие три из вершин не лежат на одной прямой. Оказывается, для любого такого четырехугольника можно через вершины провести самопересекающуюся ломаную. Покажем это . Изобразим квадрат . Ломанная, проходящая через две диагонали и одно из оснований будет самопересекающейся. Растягивая или сужая стороны квадрата, получим любой 4х угольник. Диагонали все равно пересекутся.

Добавим к этой самопересекающейся ломаной еще $n$ точек. Для таких $n+4$ угольников всегда можно найти самопересекающуюйся ломаную, ведь в нем будет присутствовать самопересекающуяся звено

ответ 4, т.к. невыпуклый четырехугольник подходит. далее рассуждение идет тем же спобосом.