7-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Измир, Турция, 2003 год


Пусть на плоскости отмечено $n$ точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой и как бы мы не обозначили их буквами $A_1,A_2,\ldots,A_n$ ломанная $A_1A_2\ldots A_n$ не будет самопересекающейся. Найдите максимально возможное значение числа $n$. ( Romania )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
2018-08-19 18:31:09.0 #

Ответ: $3$

Для треугольника очевидно , что ломанная не будет самопересекающейся . Рассмотрим произвольный четырехугольник такой, что никакие три из вершин не лежат на одной прямой. Оказывается, для любого такого четырехугольника можно через вершины провести самопересекающуюся ломаную. Покажем это . Изобразим квадрат . Ломанная, проходящая через две диагонали и одно из оснований будет самопересекающейся. Растягивая или сужая стороны квадрата, получим любой 4х угольник. Диагонали все равно пересекутся.

Добавим к этой самопересекающейся ломаной еще $n$ точек. Для таких $n+4$ угольников всегда можно найти самопересекающуюйся ломаную, ведь в нем будет присутствовать самопересекающуяся звено

1234567
  3
2019-05-18 11:59:09.0 #

ответ 4, т.к. невыпуклый четырехугольник подходит. далее рассуждение идет тем же спобосом.

lvrkhn
пред. Правка 3   1
2025-05-01 17:29:59.0 #

Ответ: $4$.

Допустим $n \ge 4$, тогда любые четыре точки должны образовывать невыпуклый четырёхугольник, иначе можно взять следующий порядок: диагональ — сторона — диагональ, и ломанная будет самопересекающейся.

Пусть у нас точки $A_i, A_j, A_m, A_k$ ($i \ne j \ne m \ne k$), причём, не теряя общности, $A_j$ лежит внутри $\triangle A_iA_mA_k$.

Если $n \ge 5$, то существует ещё одна точка $A_p$, отличная от предыдущих. Рассмотрим два случая:

Случай 1:

$A_p$ лежит внутри треугольника $\triangle A_iA_mA_k$.

Заметим, что $A_p$ находится внутри одного из треугольников $\triangle A_iA_kA_j$, $\triangle A_iA_mA_j$, $\triangle A_mA_kA_j$. Тогда, если, не теряя общности, $A_p$ лежит внутри треугольника $\triangle A_iA_kA_j$, то один из четырёхугольников $A_iA_mA_jA_p$ или $A_kA_mA_jA_p$ выпуклый (так как никакие три точки не лежат на одной прямой, то в одном из них все углы строго меньше $180^\circ$), что влечёт противоречие.

Случай 2: $A_p$ лежит вне $\triangle A_iA_mA_k$.

Тогда, не теряя общности, $A_i$ лежит внутри $\triangle A_pA_mA_k$. Применяя аналогичную логику, как в случае 1, получаем $A_i = A_j$, противоречие.

Тогда $n \le 4$.

Пример для $n=4$: любой невыпуклый четырёхугольник.

ZhangirBulat123