7-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Измир, Турция, 2003 год
Задача №1. Пусть n — натуральное число. Число A состоит из 2n цифр, все 4; число B состоит из n цифр, все 8. Докажите, что A+2B+4 — точный квадрат.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Пусть на плоскости отмечено n точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой и как бы мы не обозначили их буквами A1,A2,…,An ломанная A1A2…An не будет самопересекающейся. Найдите максимально возможное значение числа n.
(
Romania
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Точки D, E, F — середины дуг BC, CA, AB описанной окружности треугольника ABC, не содержащие точки A, B, C соответственно. Пусть прямая DE пересекает BC и CA в точках G и H, а M — середина отрезка GH. Пусть прямая FD пересекает BC и AB в точках K и J, а N середина отрезка KJ.
a) Найдите углы треугольника DMN;
b) Докажите, что если P — точка пересечения прямых AD и EF, то центр описанной окружности треугольника DMN лежит на описанной окружности треугольника PMN.
комментарий/решение(9)
a) Найдите углы треугольника DMN;
b) Докажите, что если P — точка пересечения прямых AD и EF, то центр описанной окружности треугольника DMN лежит на описанной окружности треугольника PMN.
комментарий/решение(9)
Задача №4. Пусть x,y,z>−1. Докажите неравенство 1+x21+y+z2+1+y21+z+x2+1+z21+x+y2≥2.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)