7-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Измир, Турция, 2003 год
Точки D, E, F — середины дуг BC, CA, AB описанной окружности треугольника ABC, не содержащие точки A, B, C соответственно. Пусть прямая DE пересекает BC и CA в точках G и H, а M — середина отрезка GH. Пусть прямая FD пересекает BC и AB в точках K и J, а N середина отрезка KJ.
a) Найдите углы треугольника DMN;
b) Докажите, что если P — точка пересечения прямых AD и EF, то центр описанной окружности треугольника DMN лежит на описанной окружности треугольника PMN.
посмотреть в олимпиаде
a) Найдите углы треугольника DMN;
b) Докажите, что если P — точка пересечения прямых AD и EF, то центр описанной окружности треугольника DMN лежит на описанной окружности треугольника PMN.
Комментарий/решение:
a) Несложно догадаться, что N лежит на биссектрисе BE, поскольку, если считать, что N1 - точка пересечения KJ с BE, то ∠BN1D=∠BAC/2+(∠ACB/2+∠ABC/2)=90,⇒N=N1, аналогично и M лежит на биссектрисе CF. Рассмотрим четырехугольник IMDN, где I - точка пересечений биссектрис треугольника ABC. Он вписанный, так как ∠DNI=∠DMI=90,⇒∠NID=∠BID=(∠A+∠B)/2=
=∠NMD=90−∠C/2,∠NDM=∠FDE=90−∠A/2,∠DNM=90−∠B/2
б) Нетрудно понять, что △NPM∼△BAC, так как мы можем узнать их углы по пункту а. Пусть O - середина ID, тогда ∠NOM=2⋅∠NDM=180−∠BAC, но ∠NPM=∠BAC=∠A, их сумма=180, ⇒N,P,O и N∈ω
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.