Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

7-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Измир, Турция, 2003 год


Точки D, E, F — середины дуг BC, CA, AB описанной окружности треугольника ABC, не содержащие точки A, B, C соответственно. Пусть прямая DE пересекает BC и CA в точках G и H, а M — середина отрезка GH. Пусть прямая FD пересекает BC и AB в точках K и J, а N середина отрезка KJ.
a) Найдите углы треугольника DMN;
b) Докажите, что если P — точка пересечения прямых AD и EF, то центр описанной окружности треугольника DMN лежит на описанной окружности треугольника PMN.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
4 года 6 месяца назад #

Могу быть не прав, но различные треугольники дают различные углы в DMN. Возможно, в задаче не хватает данных, или же имеется опечатка

  1
3 года 9 месяца назад #

Да, они различны, так как EDF=(B+C)/2=90A/2

пред. Правка 2   1
3 года 9 месяца назад #

a) Несложно догадаться, что N лежит на биссектрисе BE, поскольку, если считать, что N1 - точка пересечения KJ с BE, то BN1D=BAC/2+(ACB/2+ABC/2)=90,N=N1, аналогично и M лежит на биссектрисе CF. Рассмотрим четырехугольник IMDN, где I - точка пересечений биссектрис треугольника ABC. Он вписанный, так как DNI=DMI=90,NID=BID=(A+B)/2=

=NMD=90C/2,NDM=FDE=90A/2,DNM=90B/2

б) Нетрудно понять, что NPMBAC, так как мы можем узнать их углы по пункту а. Пусть O - середина ID, тогда NOM=2NDM=180BAC, но NPM=BAC=A, их сумма=180, N,P,O и Nω

пред. Правка 2   1
3 года 9 месяца назад #

пред. Правка 2   2
3 года 9 месяца назад #

  0
3 года 9 месяца назад #

Что ты наспмил? Скажи Админу чтобы удалил 2 последних дублированных комментарии

пред. Правка 3   1
3 года 9 месяца назад #

+, нажал на редактирование, почему-то добавляется комментарий вместо этого. Админ, удали, пожалуйста, 2 мои комментария.

  0
3 года 9 месяца назад #

почему в матоле вообще нет функции удаления комментария

  2
3 года 9 месяца назад #

да, было бы круто. Затупил - можешь только стереть комментарий, хотя все могут просто увидеть сообщение до правки