7-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Измир, Турция, 2003 год

Точки $D$, $E$, $F$ — середины дуг $BC$, $CA$, $AB$ описанной окружности треугольника $ABC$, не содержащие точки $A$, $B$, $C$ соответственно. Пусть прямая $DE$ пересекает $BC$ и $CA$ в точках $G$ и $H$, а $M$ — середина отрезка $GH$. Пусть прямая $FD$ пересекает $BC$ и $AB$ в точках $K$ и $J$, а $N$ середина отрезка $KJ$.
a) Найдите углы треугольника $DMN$;
b) Докажите, что если $P$ — точка пересечения прямых $AD$ и $EF$, то центр описанной окружности треугольника $DMN$ лежит на описанной окружности треугольника $PMN$.

Комментарий/решение

Могу быть не прав, но различные треугольники дают различные углы в $\triangle DMN$. Возможно, в задаче не хватает данных, или же имеется опечатка

Да, они различны, так как $\angle EDF=(\angle B+\angle C)/2=90-\angle A/2$

a) Несложно догадаться, что $N$ лежит на биссектрисе $BE$, поскольку, если считать, что $N_1$ - точка пересечения $KJ$ с $BE$, то $\angle BN_1D=\angle BAC/2+(\angle ACB/2+\angle ABC/2)=90, \Rightarrow N=N_1$, аналогично и $M$ лежит на биссектрисе $CF$. Рассмотрим четырехугольник $IMDN$, где $I$ - точка пересечений биссектрис треугольника $ABC$. Он вписанный, так как $\angle DNI=\angle DMI=90, \Rightarrow \angle NID=\angle BID=(\angle A+\angle B)/2=$

$$=\angle NMD=90-\angle C/2, \angle NDM=\angle FDE=90-\angle A/2, \angle DNM=90-\angle B/2$$

б) Нетрудно понять, что $\triangle NPM \sim \triangle BAC$, так как мы можем узнать их углы по пункту а. Пусть $O$ - середина $ID$, тогда $\angle NOM=2 \cdot \angle NDM=180-\angle BAC$, но $\angle NPM=\angle BAC=\angle A$, их сумма=$180$, $\Rightarrow N,P,O$ и $N \in \omega$

Что ты наспмил? Скажи Админу чтобы удалил 2 последних дублированных комментарии

+, нажал на редактирование, почему-то добавляется комментарий вместо этого. Админ, удали, пожалуйста, 2 мои комментария.

почему в матоле вообще нет функции удаления комментария

да, было бы круто. Затупил - можешь только стереть комментарий, хотя все могут просто увидеть сообщение до правки