Математикадан жасөспірімдер арасындағы 7-ші Балкан олимпиадасы 2003 жыл, Измир, Турция

Есеп №1.

$n$ саны натурал сан болсын.

$A$ саны

$2n$ цифрдан тұрады, барлығы 4;

$B$ саны

$n$ цифрдан тұрады, барлығы 8.

$A+2B+4$ саны толық квадрат екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Жазықтықта ешбір үшеуі бір түзудің бойында жатпайтындай

$n$ нүкте берілсін және ол нүктелерді

$A_1,A_2,\ldots,A_n$ әріптерімен қалай белгілесек те

$A_1A_2\ldots A_n$ қисығы өз-өзін қимайды.

$n$ -нің мүмкін болатын ең үлкен мәнін табыңыздар. ( Romania )
комментарий/решение(2)

Есеп №3.

$D$ ,

$E$ ,

$F$ нүктелері сәйкесінше

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің

$BC$ ,

$CA$ ,

$AB$ доғаларының орталары.

$DE$ түзуі

$BC$ және

$CA$ -ны сәйкесінше

$G$ және

$H$ нүктелерінде қисын, ал

$M$ нүктесі

$GH$ кесіндісінің ортасы болсын.

$FD$ түзуі

$BC$ және

$AB$ -ны сәйкесінше

$K$ және

$J$ нүктелерінде қисын, ал

$N$ нүктесі

$KJ$ кесіндісінің ортасы болсын.
а)

$DMN$ үшбұрышының бұрыштарын табыңыздар.
b)

$AD$ және

$EF$ түзулерінің қиылысу нүктесі

$P$ болса, онда

$DMN$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі

$PMN$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(9)

Есеп №4.

$x, y, z > -1$ болсын.

$\dfrac{1+x^2}{1+y+z^2} + \dfrac{1+y^2}{1+z+x^2} + \dfrac{1+z^2}{1+x+y^2} \geq 2$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(4)