Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

7-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Измир, Турция, 2003 год


Пусть x,y,z>1. Докажите неравенство 1+x21+y+z2+1+y21+z+x2+1+z21+x+y22.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
6 года 6 месяца назад #

(x1)20x22x+10x2+12xx2+12x

1+z21+x+y22(1+z2)(x2+1)+2(y2+1)

1+z2=c,1+x2=a1+y2=b

2ab+2c+2bc+2a+2ca+2b2

ab+2c+bc+2a+ca+2b1

{a+2b=xb+2c=yc+2a=z.

a=x2y+4z9,b=y2z+4x9,c=z2x+4y9

ca+2b+ab+2c+bc+2a=

=x2y+4z9x+y2z+4x9y+z2x+4y9z=

19(zx+xy+yz)23+49(xz+zy+yx) 133zxxyyz23+433xzzyyx=1323+43=1

  0
3 года 9 месяца назад #

Можно легче с обозначения 1+z2=c,1+x2=a,1+y2=b:

2ab+2c+2bc+2a+2ca+2b=4a2(b+2c)2a+4b2(c+2a)2b+4c2(a+2b)2c(2a+2b+2c)26(ab+bc+ac)=(a+b+c)21,5(ab+bc+ac)2,

(a+b+c)23(ab+bc+ac), что верно. Важно отметить, что знаменатели >0, так как a,b и c>0

  1
3 года 10 месяца назад #

Заметим что 1+y+z2,1+z+x2,1+x+y2 больше 0. Значит можно использовать Неравенство Коши-Буняковского:

(1+x2)2(1+x2)(1+y+z2)+(1+y2)2(1+z+x2)(1+y2)+(1+z2)2(1+z2)(1+x+y2)(3+x2+y2+z2)23+x+y+z+2(x2+y2+z2)+yx2+zy2+xz2+x2z2+z2y2+y2x22

Теперь достаточно доказать последней неравенство, оно эквивалента:

x4+y4+z4+2(x2+y2+z2)+32(yx2+zy2+xz2+x+y+z)

А это неравенства циклическая сумма этих:

x4+y22x2y

x2+12x

пред. Правка 2   1
1 года 10 месяца назад #

1+x2=2a,1+y2=2b,1+z2=2c болсын. Онда

2a=1+x22x  ax,by,cz.

1+x21+y+z2+1+y21+z+x2+1+z21+x+y2=

=2a2c+y+2b2a+z+2c2b+x2a2c+b+2b2a+c+2c2b+a

2(a+b+c)2a(2c+b)+b(2a+c)+c(2b+a)=2(a+b+c)23(ab+bc+ca)2