7-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Измир, Турция, 2003 год
Пусть x,y,z>−1. Докажите неравенство 1+x21+y+z2+1+y21+z+x2+1+z21+x+y2≥2.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
(x−1)2≥0⇒x2−2x+1≥0⇒x2+1≥2x⇒x2+12≥x
1+z21+x+y2≥2(1+z2)(x2+1)+2(y2+1)
1+z2=c,1+x2=a1+y2=b⇒
2ab+2c+2bc+2a+2ca+2b≥2⇒
⇒ab+2c+bc+2a+ca+2b≥1
{a+2b=xb+2c=yc+2a=z.⇒
⇒a=x−2y+4z9,b=y−2z+4x9,c=z−2x+4y9⇒
⇒ca+2b+ab+2c+bc+2a=
=x−2y+4z9x+y−2z+4x9y+z−2x+4y9z=
19⋅(zx+xy+yz)−23+49⋅(xz+zy+yx)≥ ≥13⋅3√zx⋅xy⋅yz−23+43⋅3√xz⋅zy⋅yx=13−23+43=1
Заметим что 1+y+z2,1+z+x2,1+x+y2 больше 0. Значит можно использовать Неравенство Коши-Буняковского:
(1+x2)2(1+x2)(1+y+z2)+(1+y2)2(1+z+x2)(1+y2)+(1+z2)2(1+z2)(1+x+y2)≥(3+x2+y2+z2)23+x+y+z+2(x2+y2+z2)+yx2+zy2+xz2+x2z2+z2y2+y2x2≥2
Теперь достаточно доказать последней неравенство, оно эквивалента:
x4+y4+z4+2(x2+y2+z2)+3≥2(yx2+zy2+xz2+x+y+z)
А это неравенства циклическая сумма этих:
x4+y2≥2x2y
x2+1≥2x
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.