Н. Агаханов

Задача №1. Пусть

$a$ ,

$b$ ,

$c$ — три натуральных числа. На доску выписали три произведения

$ab$ ,

$ac$ ,

$bc$ , и у каждого из них стёрли все цифры, кроме двух последних. Могло ли случиться, что в результате получились три последовательных двузначных числа? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. Ученик за одну неделю получил 13 оценок (из набора 2, 3, 4, 5), среднее арифметическое которых — целое число. Докажите, что какую-то оценку он получил не более двух раз. ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. Целые числа

$a$ ,

$b$ ,

$c$ таковы, что

$a+b+c = 1$ и

$a^2+b^2+c^2 = 2n+1$ (

$n$ — натуральное число). Докажите, что

$a^3+b^2-a^2-b^3$ делится на

$n.$ ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №4. Операция удвоения цифры натурального числа состоит в умножении этой цифры на 2 (если это произведение оказывается двузначным, то цифра в следующем разряде числа увеличивается на 1, как при сложении «в столбик»). Например, из числа 9817 удвоениями цифр 7, 1, 8 и 9 можно получить числа 9824, 9827, 10617 и 18817 соответственно. Можно ли из числа

$22 \ldots 22$ (20 двоек) несколькими такими операциями получить число

$22 \ldots 22$ (21 двойка)? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №5. По кругу расставлены 100 натуральных чисел. Каждое из них разделили с остатком на следующее по часовой стрелке. Могло ли получиться 100 одинаковых ненулевых остатков? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №6. Сумма четырех целых чисел равна 0. Числа расставили по кругу и каждое умножили на сумму двух его соседей. Докажите, что сумма этих четырех произведений, умноженная на

$-1$ , равна удвоенному квадрату целого числа. ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №7. Натуральное число, большее 1000000, даёт одинаковые остатки при делении на 40 и на 125. Какая цифра может стоять у этого числа в разряде сотен? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №8. Числа

$x$ и

$y,$ не равные 0, удовлетворяют неравенствам

${x^2-x > y^2}$ и

${y^2-y > x^2.}$ Какой знак может иметь произведение

$xy$ (укажите все возможности)? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №9. Сумма остатков от деления трёх последовательных натуральных чисел на 2022 — простое число. Докажите, что одно из чисел делится на 2022. ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №10. Существует ли треугольник, у которого длины не совпадающих между собой медианы и высоты, проведенных из одной его вершины, соответственно равны длинам двух сторон этого треугольника? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №11. Даны три положительных числа:

$a$ ,

$b$ ,

$c$ . Петя записал на доске числа

$\frac{1}{a}+bc,\ \frac{1}{b}+ac,\ \frac{1}{c}+ab$ , а Вася — числа

$2a^2$ ,

$2b^2$ ,

$2c^2$ . Оказалось, что оба записали одни и те же три числа (возможно, в разном порядке). Чему равно произведение

$abc$ ? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №12. Числа

$x$ ,

$y$ ,

$z$ таковы, что

$x > y^2+z^2$ ,

$y > z^2+x^2$ ,

$z > x^2+y^2$ . Докажите, что каждое из чисел

$x$ ,

$y$ ,

$z$ меньше

$\frac{1}{2}$ . ( Н. Агаханов, А. Храбров )
комментарий/решение(5) олимпиада