қазақша
русскийН. Агаханов
Есеп №1. $a$, $b$ және $c$ — үш натурал сан болсын. Тақтаға үш $ab$, $ac$, $bc$ көбейтіндісін жазып, сосын әрқайсысының соңғы екі цифрлары қалатындай етіп әр санның алдыңғы цифрларын өшірген. Осыдан кейін тақтада екі таңбалы қатар келген үш сан қалуы мүмкін ба? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №2. Оқушы бір апта ішінде 13 баға алды (2, 3, 4, 5 деген бағалар жиынынан). Олардың арифметикалық ортасы — бүтін сан. Оқушының қандай да бір бағаны екі реттен көп алмағанын дәлелдеңдер. ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №3. $a+b+c=1$ және ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2n+1$ болатындай бүтін $a,$ $b,$ $c$ сандары берілсін. ${{a}^{3}}+{{b}^{2}}-{{a}^{2}}-{{b}^{3}}$ саны $n$ санына бөлінетінін дәлелдеңіз ($n$ — натурал сан). ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №4. Операция удвоения цифры натурального числа состоит в умножении этой цифры на 2 (если это произведение оказывается двузначным, то цифра в следующем разряде числа увеличивается на 1, как при сложении «в столбик»). Например, из числа 9817 удвоениями цифр 7, 1, 8 и 9 можно получить числа 9824, 9827, 10617 и 18817 соответственно. Можно ли из числа $22 \ldots 22$ (20 двоек) несколькими такими операциями получить число $22 \ldots 22$ (21 двойка)? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №5. По кругу расставлены 100 натуральных чисел. Каждое из них разделили с остатком на следующее по часовой стрелке. Могло ли получиться 100 одинаковых ненулевых остатков? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №6. Сумма четырех целых чисел равна 0. Числа расставили по кругу и каждое умножили на сумму двух его соседей. Докажите, что сумма этих четырех произведений, умноженная на $-1$, равна удвоенному квадрату целого числа. ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №7. 1000000-нан үлкен натурал санды 40-қа бөлгенде де, 125-ке бөлгенде де пайда болған қалдықтар бірдей болған. Осы натурал санның жүздік разрядтағы цифры нешеге тең болуы мүмкін? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №8. $x$ және $y$ сандары үшін $x^2-x > y^2$ және $y^2-y > x^2$ теңсіздіктері орындалады. $xy$ көбейтіндісінің таңбасы қандай болуы мүмкін? Барлық мүмкін жағдайды көрсетіңіз. ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №9. Тізбектес үш натурал сандарды 2022-ге бөлгеннен кейінгі қалдықтардың қосындысы жай сан болған. Сол сандардың біреуі 2022 бөлінетінін дәлелдеңіз. ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №10. Үшбұрыштың бір төбесінен жүргізілген бір-біріне тең емес биіктігі мен медианасының ұзындықтары сәйкесінше осы үшбұрыштың екі қабырғасының ұзындықтарына тең бола алады ма? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №11. Оң $a$, $b$, $c$ сандары берілген. Петя тақтаға $\frac{1}{a}+bc$, $\frac{1}{b}+ac$, $\frac{1}{c}+ab$ сандарын, ал Вася $2a^2$, $2b^2$, $2c^2$ сандарын жазды. Сонда екеуі де үш бірдей сандар жазғаны белгілі (олардың реті басқаша болуы мүмкін, бірақ сандар жиыны бірдей). $abc$ көбейтіндісі нешеге тең? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(3) олимпиада