Н. Агаханов

Есеп №1.

$a$ ,

$b$ және

$c$ — үш натурал сан болсын. Тақтаға үш

$ab$ ,

$ac$ ,

$bc$ көбейтіндісін жазып, сосын әрқайсысының соңғы екі цифрлары қалатындай етіп әр санның алдыңғы цифрларын өшірген. Осыдан кейін тақтада екі таңбалы қатар келген үш сан қалуы мүмкін ба? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №2. Оқушы бір апта ішінде 13 баға алды (2, 3, 4, 5 деген бағалар жиынынан). Олардың арифметикалық ортасы — бүтін сан. Оқушының қандай да бір бағаны екі реттен көп алмағанын дәлелдеңдер. ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №3.

$a+b+c=1$ және

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2n+1$ болатындай бүтін

$a,$

$b,$

$c$ сандары берілсін.

${{a}^{3}}+{{b}^{2}}-{{a}^{2}}-{{b}^{3}}$ саны

$n$ санына бөлінетінін дәлелдеңіз (

$n$ — натурал сан). ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №4. Операция удвоения цифры натурального числа состоит в умножении этой цифры на 2 (если это произведение оказывается двузначным, то цифра в следующем разряде числа увеличивается на 1, как при сложении «в столбик»). Например, из числа 9817 удвоениями цифр 7, 1, 8 и 9 можно получить числа 9824, 9827, 10617 и 18817 соответственно. Можно ли из числа

$22 \ldots 22$ (20 двоек) несколькими такими операциями получить число

$22 \ldots 22$ (21 двойка)? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №5. По кругу расставлены 100 натуральных чисел. Каждое из них разделили с остатком на следующее по часовой стрелке. Могло ли получиться 100 одинаковых ненулевых остатков? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №6. Сумма четырех целых чисел равна 0. Числа расставили по кругу и каждое умножили на сумму двух его соседей. Докажите, что сумма этих четырех произведений, умноженная на

$-1$ , равна удвоенному квадрату целого числа. ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №7. 1000000-нан үлкен натурал санды 40-қа бөлгенде де, 125-ке бөлгенде де пайда болған қалдықтар бірдей болған. Осы натурал санның жүздік разрядтағы цифры нешеге тең болуы мүмкін? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №8.

$x$ және

$y$ сандары үшін

$x^2-x > y^2$ және

$y^2-y > x^2$ теңсіздіктері орындалады.

$xy$ көбейтіндісінің таңбасы қандай болуы мүмкін? Барлық мүмкін жағдайды көрсетіңіз. ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №9. Тізбектес үш натурал сандарды 2022-ге бөлгеннен кейінгі қалдықтардың қосындысы жай сан болған. Сол сандардың біреуі 2022 бөлінетінін дәлелдеңіз. ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №10. Үшбұрыштың бір төбесінен жүргізілген бір-біріне тең емес биіктігі мен медианасының ұзындықтары сәйкесінше осы үшбұрыштың екі қабырғасының ұзындықтарына тең бола алады ма? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №11. Оң

$a$ ,

$b$ ,

$c$ сандары берілген. Петя тақтаға

$\frac{1}{a}+bc$ ,

$\frac{1}{b}+ac$ ,

$\frac{1}{c}+ab$ сандарын, ал Вася

$2a^2$ ,

$2b^2$ ,

$2c^2$ сандарын жазды. Сонда екеуі де үш бірдей сандар жазғаны белгілі (олардың реті басқаша болуы мүмкін, бірақ сандар жиыны бірдей).

$abc$ көбейтіндісі нешеге тең? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №12.

$x$ ,

$y$ ,

$z$ нақты сандары үшін

$x > y^2+z^2$ ,

$y > z^2+x^2$ ,

$z > x^2+y^2$ теңсіздіктері орындалады.

$x$ ,

$y$ ,

$z$ сандарының әрқайсысы

$\frac{1}{2}$ -ден кіші екенін дәлелдеңіз. ( Н. Агаханов, А. Храбров )
комментарий/решение(5) олимпиада