Олимпиада имени Леонарда Эйлера2013-2014 учебный год, I тур регионального этапа

Ученик за одну неделю получил 13 оценок (из набора 2, 3, 4, 5), среднее арифметическое которых — целое число. Докажите, что какую-то оценку он получил не более двух раз. ( Н. Агаханов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Допустим противное. Тогда каждую из оценок 2, 3, 4, 5 ученик получил не меньше трёх раз. Возьмём по три оценки каждого вида. Сумма 12 взятых оценок равна 42, а всех 13 оценок — 44, 45, 46 или 47, в зависимости от того, какова оставшаяся оценка. Но ни одно из чисел 44, 45, 46, 47 не делится нацело на 13.