қазақша
русскийФ. Бахарев
Есеп №1. Центрі $O$ нүктесі және радиусы 1 болатын шеңберге, барлық бұрыштары $45{}^\circ $-градустан үлкен сүйірбұрышты үшбұрыш іштей сызылды. $B$ нүктесінен $CO$ түзуіне $B{{B}_{1}}$ перпендикуляры, ал ${{B}_{1}}$ нүктесінен $AC$ түзуіне ${{B}_{1}}{{B}_{2}}$ перпендикуляры жүргізілді. Дәл осылай, $C$ нүктесінен $BO$ түзуіне $C{{C}_{1}}$ перпендикуляры, ал ${{C}_{1}}$ нүктесінен $AB$ түзуіне ${{C}_{1}}{{C}_{2}}$ перпендикуляры жүргізілді. ${{B}_{1}}{{B}_{2}}$ және ${{C}_{1}}{{C}_{2}}$ түзулері ${{A}_{3}}$ нүктесінде қиылысады. Дәл осылай ${{B}_{3}}$ және ${{C}_{3}}$ нүктелері анықталады. ${{A}_{3}}{{B}_{3}}{{C}_{3}}$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусын табыңыз. ( Ф. Петров, Ф. Бахарев )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №2. $600\times 600$ шаршысы, 4 тордан тұратын (сурет)
түріндегі фигураларға бөлінген. Алғашқы екі фигура түріндегі фигураларда, $k$ осы тор орналасқан баған нөмірі болатындай, ${{2}^{k}}$ саны жазылған. Барлық жазылған сандардың қосындысы 9-ға бөлінетінін дәлелдеңіз.
(
Ф. Бахарев
)
комментарий/решение олимпиада
Есеп №3. $O$ нүктесі, $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған үшбұрыштың центрі. Бір шеңбер $B$ және $C$ нүктелері арқылы өтіп $AB$ және $AC$ қабырғаларын қияды. Осы шеңбердің, үшбұрыш ішінде орналасқан доғасының бойынан, $BD$ және $CE$ кесінділері $O$ нүктесі арқылы өтетіндей, $D$ және $E$ нүктелері алынған. $AB$ қабырғасына жүргізілген перпендикуляр $D{{D}_{1}}$ және $AC$ қабырғасына жүргізілген перпендикуляр $E{{E}_{1}}$, $M$ нүктесінде қиылысады. $A$, $M$ және $O$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( Ф. Бахарев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №4. $H$ және $M$ нүктелері, $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышының ортоцентрі және медианалардың қиылысу нүктесі. ${{B}_{1}}$ нүктесі, осы үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің $AC$ доғасының ортасы. ${{B}_{1}}M$ кесіндісінің ұзындығы сырттай сызылған шеңбердің радиусына тең екені белгілі. $BM\ge BH$ екенін дәлелдеңіз. ( Ф. Бахарев )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №5. Жазықтықта $A$ және $B$ нүктелері, және де $B$ нүктесі арқылы өтетін $l$ түзуі берілсін. $l$ түзуімен $B$ нүктесінде жанасатын және $A$ нүктесін қамтымайтын кез-келген $\omega $ шеңбері берілісін. $\omega $ шеңберіне $A$ нүктесі арқылы жүргізілген жанамалар осы шеңбермен $X$ және $Y$ нүктелерінде жанасады. $XY$ түзуі, $\omega$ шеңберінің таңдалымына тәуелсіз, бекітілген нүкте арқылы өтетінін дәлелдеңіз. ( Ф. Бахарев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №6. $I$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі болсын. $AC$ және $AB$ қабырғаларының орталары сәйкес түрде ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ нүктелері болсын. $\angle BI{{C}_{1}}+\angle CI{{B}_{1}}=180{}^\circ $ болатыны белгілі. $AB+AC=3BC$ теңдігін дәлелде. ( Д. Ростовский, Ф. Бахарев )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №7. $ABCD$ трапециясында $BC \parallel AD$ және $AD = 2BC.$ Трапеция ішінде $AB = FB$ болатындай $F$ нүктесі белгіленген. $M$ нүктесі — $FD$ кесіндісінің ортасы. $CM \perp FA$ екенін дәлелдеңіз. ( Ф. Бахарев )
комментарий/решение(2) олимпиада