Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2005 год

Задача №1. В каждой клетке таблицы

$3 \times 3$ стоит одно из чисел 1, 2 и 3. Дима посчитал сумму чисел в каждой строке и в каждом столбце. Какое наибольшее количество различных сумм он мог получить? ( С. Волчёнков )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Точки

$X$ и

$Y$ — середины сторон

$AB$ и

$AC$ треугольника

$ABC$ ,

$I$ — центр его вписанной окружности,

$K$ — точка касания вписанной окружности со стороной

$BC$ . Биссектриса внешнего угла при вершине

$B$ пересекает прямую

$XY$ в точке

$P$ , а биссектриса внешнего угла при вершине

$C$ пересекает

$XY$ в точке

$Q$ . Докажите, что площадь четырехугольника

$PKQI$ равна половине площади исходного треугольника. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Задача №3. Билет на трамвай стоит 1 тугрик. У 20 пассажиров имеются лишь монеты достоинством в 2 и 5 тугриков, а у кондуктора вообще ничего. Оказалось, что все пассажиры смогли заплатить за проезд и получить сдачу. Какое наименьшее суммарное количество тугриков могло быть у пассажиров? ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение

Задача №4. Организаторы математического конгресса обнаружили, что, если любого из участников поселить в одноместный номер, то всех остальных можно будет расселить по двухместным номерам, в каждом из которых обитатели будут знакомы друг с другом. Докажите, что любой участник может организовать круглый стол по теории графов, в котором, кроме него, будет участвовать еще четное число людей, и каждый участник будет знаком с обоими своими соседями по столу. ( С. Берлов, С. Иванов )
комментарий/решение

Задача №5. Дан квадратный трехчлен

$f(x)=x^2+ax+b$ с целыми коэффициентами, удовлетворяющий неравенству

$f(x) \geq -{9\over 10}$ при любом

$x$ . Докажите, что

$f(x)\geq -{1\over 4}$ при любом

$x$ . ( А. Храбров )
комментарий/решение(1)

Задача №6. Вдоль прямого шоссе Тмутаракань — Урюпинск в точках

$A_1$ ,

$A_2$ ,

$\dots$ ,

$A_{100}$ стоят вышки оператора сотовой связи ДПС, а в точках

$B_1$ ,

$B_2$ ,

$\dots$ ,

$B_{100}$ — вышки компании "Рупор". (Нумерация вышек может не совпадать с порядком их расположения вдоль шоссе.) Каждая вышка действует на расстоянии 10~км в обе стороны вдоль шоссе. Известно, что

$A_iA_k \geq B_iB_k$ при любых

$i$ ,

$k\leq 100$ . Докажите, что суммарная длина всех участков шоссе, охваченных сетью ДПС, не меньше, чем длина участков, охваченных сетью "Рупор". ( А. Храбров )
комментарий/решение

Задача №7. Точка

$I$ — центр вписанной окружности треугольника

$ABC$ . Точки

$B_1$ и

$C_1$ — середины сторон

$AC$ и

$AB$ соответственно. Известно, что

$\angle BIC_1 + \angle CIB_1 = 180^\circ$ . Докажите равенство

$AB+AC=3BC$ . ( Д. Ростовский, Ф. Бахарев )
комментарий/решение

Задача №8. Последовательность натуральных чисел строится по следующему правилу: каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением произведения всех его различных простых делителей (например, после числа 12 должно идти число 18, а после числа 125 — число 130). Докажите, что любые две последовательности, построенные таким образом, имеют общий член. ( А. Голованов )
комментарий/решение