Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2005 год

В каждой клетке таблицы $3 \times 3$ стоит одно из чисел 1, 2 и 3. Дима посчитал сумму чисел в каждой строке и в каждом столбце. Какое наибольшее количество различных сумм он мог получить? ( С. Волчёнков )

Комментарий/решение

Заметим макс ответ $9$ и мин $3$ то есть всего макс различных $7$ допустим $7$ тогда у нас есть ряд или столбец чисто $1$ но тогда Заметим чтобы получить $9$ нам опять же нужен ряд или столбец чисто $9$ но тогда мы должны получить $8$ но это невозможно так как в чтобы получить $8$ нужно ряд $2,3,3$ но у нас есть только $1,3,x$ откуда ответ $7$ невозможен допустим ответ $6$ тогда у нас должен быть ряд чисто $1$ либо $9$ либо вместе допустим вместе тогда мы не можем получить $8$ мы это доказали но мы можем тогда получить $7$ и $4$ тогда Заметим что тогда квадрат выглядит так

$3,3,3$ тогда Заметим мы получим две одиноковые суммы $1+3+x$ тогда ответ $5$

$1,1,1$ невозможен

$1,3,x$

Допустим теперь есть ряд чисто $3$ и нет ряда $1$ тогда заметим что мы должны получить как то $4$ но это невозможно тогда ответ опять $5$ аналог где есть ряд $1$ мы не можем получить $8$ пример

$1,1,1$$=3$

$3,3,3$$=9$

$2,1,3$$=6$

$=6,=5,=7$