қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2005 жыл
Есеп №1. $3\times 3$ кестенің әрбір торында $1,2,3$ сандарының бірі тұр. Дима әрбір бағандағы және әрбір жолдағы сандардың қосындыларын есептеді. Ол ең көп дегенде қанша әртүрлі қосындысының санын ала алады.
(
С. Волчёнков
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышының $AC$ және $BC$ қабырғаларының орталары $X$ және $Y$ нүктелері болсын, $I$ іштей сызылған шеңбер центрі, $K-$іштей сызылған шеңбердің $BC$ қабырғасын жанау нүктесі. $B$ төбесіндегі сыртқы бұрыштың биссектрисасы $XY$ түзуін $P$ нүктесінде қияды. $PKQL$ төртбұрышының ауданы берілген үшбұрышының ауданының жартысына тең болатынын дәлелде.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Трамвайдың жол ақысы $1$ тугрик. $20$ жолаушының $2$ және $5$ тугриктен тұратын тиындары бар, ал кондукторда әлі ештеңе жоқ. Онда да әрбір жолаушы жол ақысын төлеп, артық төлегендерін қайырып алды. Жолаушыларда тугриктердің ең аз дегенде жалпы саны қанша болуы мүмкін еді?
(
из материалов олимпиад
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Математика конгресін ұйымдастырушылардың байқағаны: егер қатысушылардың кез келген біреуін бір кісілік бөлмеге жайғастырса, онда қалғандарын екі кісілік бөлмелерге жайғастыруға болады, сонда әр бөлмедегі тұрғындар өзара таныс болады. Графтар теориясы тақырыбы бойынша, кез келген қатысушы дөңгелек үстел ұйымдастырып, оған өзінен басқа тағы жұп сан кісілер қатысының, және әрбір қатысушы үстелдес екі көршісімен таныс болатынын дәлелде.
(
С. Берлов,
С. Иванов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Кез келген $x$ үшін $f\left( x \right)\ge -\dfrac{9}{10}$ теңсіздігін қанағаттандыратын бүтін коэффициентті квадрат үшмүшелігі берілген. Кез келген $x$ үшін $f\left( x \right)\ge -\dfrac{1}{4}$ болатынын дәлелде.
(
А. Храбров
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. Тьмутаракань – Урюпинск түзу шоссесінде ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\ldots,{{A}_{100}}$ нүктелерінде ДПС ұялы байланыс операторының бағандары тұр, ал ${{B}_{1}},{{B}_{2}},\ldots,{{B}_{100}}$ нүктелерінде «Рупор» компаниясының бағандары тұр (бағандарының нөмірлері олардың шоссе бойымен орналасу ретімен сәйкес келмеуі мүмкін) әрбір баған шоссе бойымен екі жаққа он километр қашықтыққа әсер етеді. Кез келген $i,k\le 100$ үшін ${{A}_{i}}{{A}_{k}}\ge {{B}_{i}}{{B}_{k}}$ орындалады. ДПС торымен қамтылған шоссенің барлық бөліктерінің қосындыларының ұзындығы «Рупор» торымен қамтылған бөліктерінің ұзындығынан кіші емес екенін дәлелде.
(
А. Храбров
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. $I$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі болсын. $AC$ және $AB$ қабырғаларының орталары сәйкес түрде ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ нүктелері болсын. $\angle BI{{C}_{1}}+\angle CI{{B}_{1}}=180{}^\circ $ болатыны белгілі. $AB+AC=3BC$ теңдігін дәлелде.
(
Д. Ростовский,
Ф. Бахарев
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. Натурал сандар тізбегі мынандай заңдылықпен құрылған: екіншісінен бастап әрбір мүшесі алдыңғысына оның барлық әртүрлі жай бөлгіштерінің көбейтіндісін қосқанға тең (мысалы, $12$ санынан кейін $18$ саны, ал $125$ санынан кейін $130$ саны тұру керек). Осылайша құрылған кез келген екі тізбектің ортақ мүшесі болатынын дәлелде.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение