6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур

Есеп №1. ${{n}^{3}}+2023$ саны $n+1$ санына бөлінетіндей ең үлкен натурал $n$ санын тап.
комментарий/решение(3)

Есеп №2. $\underbrace {11 \ldots 1}_{n-\text{рет}}\underbrace {44 \ldots 4}_{2n-\text{рет}} = {x^2}$ теңдігі орындалатындай барлық натурал $n$ және $x$ сандарын тап.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Әкенің үш қадамының жалпы ұзындығы ұлының бес қадамының жалпы ұзындығына тең. Әкесі белгілі бір уақыт ішінде 6 қадам жасаса, ұлы сол уақытта 7 қадамды жасайды. Баласы үйден шығып, 30 қадам басқан соң, әкесі соңынан ерген. Әке баласын қуып жету үшін қанша қадам жасау керек?
комментарий/решение

Есеп №4. 11-ден басталып, 89-мен аяқталатын және толық квадрат болатын ең кіші санды табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Кестедегі барлық сандардың қосындысын табыңыз:

комментарий/решение(1)

Есеп №6. Нақты $x,y$ сандары үшін $x^2+xy+y^2=4$, $x^4+x^2y^2+y^4=8$ теңдіктері орындалады. $x^6+x^3y^3+y^6$ өрнегінің мәнін табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №7. $x+y+z+x \cdot y+y \cdot z+z \cdot x+x \cdot y \cdot z=\overline{xyz}$ теңдігі орындалатындай барлық үштаңбалы $\overline{xyz}$ сандарын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №8. $a^{2022}$ санының цифрларының қосындысы 2022-ге тең болатындай натурал $a$ саны табылады ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №9. Мектептегі оқушылар саны 450-ден көп, бірақ 600-ден аз. Оқушыларды топқа 8-ден бөлсек, бір оқушы қалады; 7-ден бөлсек, 2 оқушы қалады; 6-дан бөлсек, онда 5 оқушы қалады. Осы мектепте қанша оқушы оқиды?
комментарий/решение(1)

Есеп №10. Теңсіздікті дәлелдеңіз: $2023 < \frac{2}{1} + \frac{3}{2} + \ldots + \frac{{2023}}{{2022}} + \frac{{2024}}{{2023}} < 2282$.
комментарий/решение(1)

Есеп №11. $ABC$ үшбұрышында ($\angle A = 30^\circ$ , $\angle B = 105^\circ$) $A$ бұрышының биссектрисасында $P$ нүктесі $PC = BC$ болатындай алынған ($P$ нүктесі $\triangle ABC$ ішінде жатыр). $APC$ бұрышын тап.
комментарий/решение

Есеп №12. Кез келген дөңес 10-бұрышта қандай да екі диагональдар арасындағы бұрыш $6^\circ$-тан кем екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №13. Суретте көрсетілген алты домино тасын пайдаланып, үш қатардың әрқайсысында нүктелер саны өзара тең және әрбір төрт бағанда нүктелер саны өзара тең болатындай, өлшемі $3 \times 4$ тіктөртбұрышты құрастыр.

комментарий/решение

Есеп №14. Шахмат тақтасының барлық ұяшықтары ұрылып тұратындай етіп, тақтаға үш ферзі және төрт ат фигурасын орналастыр.
комментарий/решение

Есеп №15. 101 ұяшықтан тұратын байланысқан фигура берілген. Бұл фигураны $a + b = 102$ болатындай қабырғалары $a$ және $b$ болатын тіктөртбұрыш ішіне салуға болатынын дәлелдеңдер. Ұяшықтардан тұратын фигураның кез келген екі ұяшығын ұяшықтар тізбесімен қоса алсақ, ондай фигураны байланысқан фигура деп атаймыз. (Ұяшықтар тізбесіндегі кез келген екі көрші ұяшықтардың ортақ қабырғасы болуы керек.
комментарий/решение

Есеп №16. Оң $x, y, z, t$ сандарының әрқайсысы 1-ден үлкен, және олар үшін $$\frac{x}{z}=\frac{y}{t}=\frac{x y+1}{z t+1}$$ теңдіктері орындалады. $x=z$ және $y=t$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)