6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур

Существует ли натуральное число $a$ такое, что сумма цифр числа $a^{2022}$ равна 2022?

Комментарий/решение

Ответ:нет .

Решение:Допустим что сумма цифр числа $a^{2022}$ равна 2022.2022 делится на 3,то есть $a^{2022}$ тоже делится на 3,откуда $a$ делится на 3.

Тогда $a^{2022}=(a^{1011})^2$,откуда $a^{1011}$ делится на 3,значит $(a^{1011})^2$ делится на 9.

Если сумма цифр числа делится на 9,то число делится на 9.Но 2022не делится на 9,значит исходного числа не существует