6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур

Задача №1. При каком наибольшем натуральном

$n$ , число

${{n}^{3}}+2023$ кратно

$n+1$ ?
комментарий/решение(3)

Задача №2. Найдите все натуральные числа

$n$ и

$x$ такие, что

$\underbrace {11 \ldots 1}_{n-\text{раз}}\underbrace {44 \ldots 4}_{2n-\text{раз}} = {x^2}$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №3. Суммарная длина трех шагов отца равна суммарной длине пяти шагов сына. Когда отец за какой-то промежуток времени делает 6 шагов, то сын за это же время успевает сделать 7 шагов. После того, как сын вышел из дома и сделал 30 шагов, вслед за ним за ним вышел отец. Сколько шагов должен сделать отец, чтобы догнать сына?
комментарий/решение

Задача №4. Найдите наименьшее число, которое является квадратом, запись которого начинается с 11 и заканчивается на 89.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Найдите сумму всех чисел в таблице:

комментарий/решение(1)

Задача №6. Для действительных чисел

$x,y$ выполнены равенства

$x^2+xy+y^2=4$ ,

$x^4+x^2y^2+y^4=8$ . Найдите значение выражения

$x^6+x^3y^3+y^6$ .
комментарий/решение(1)

Задача №7. Найдите все трехзначные числа

$\overline{xyz}$ для которых выполнено

$x+y+z+x \cdot y+y \cdot z+z \cdot x+x \cdot y \cdot z=\overline{xyz}.$
комментарий/решение(1)

Задача №8. Существует ли натуральное число

$a$ такое, что сумма цифр числа

$a^{2022}$ равна 2022?
комментарий/решение(1)

Задача №9. Число школьников в школе больше 450 но меньше 600. Если делить учеников в группы по 8, то останется один ученик, если по 7, то останется 2 ученика, если по 6, то останется 5. Сколько учеников учатся в этой школе?
комментарий/решение(1)

Задача №10. Докажите неравенство:

$2023 < \frac{2}{1} + \frac{3}{2} + \ldots + \frac{{2023}}{{2022}} + \frac{{2024}}{{2023}} < 2282$ .
комментарий/решение(1)

Задача №11. На биссектрисе угла

$A$ треугольника

$ABC$ (

$\angle A = 30^\circ$ ,

$\angle B = 105^\circ$ ) отмечена точка

$P$ такая, что она лежит внутри треугольника и

$PC = BC$ . Найдите угол

$APC$ .
комментарий/решение

Задача №12. Докажите, что в каждом выпуклом десятиугольнике есть пара диагоналей, угол между которыми меньше

$6^\circ$ .
комментарий/решение(1)

Задача №13. Из шести костяшек домино (см. рис.) сложите прямоугольник

$3 \times 4$ так, чтобы во всех трех строчках точек было поровну и во всех четырех столбцах точек было тоже поровну.

комментарий/решение

Задача №14. Расставьте на шахматной доске трех ферзей и четырех коней так, чтобы они били все клетки доски.
комментарий/решение

Задача №15. Дана связная фигура, составленная из 101 клетки. Докажите, что эту фигуру можно заключить в прямоугольник с такими сторонами

$a$ и

$b$ , что

$a + b = 102$ . Фигура, составленная из клеток, называется связной, если любые две ее клетки можно соединить цепочкой ее клеток, в которой любые две соседние клетки имеют общую сторону.
комментарий/решение

Задача №16. Про положительные числа

$x, y, z, t$ известно, что они все больше 1, а также выполняются равенства:

$\frac{x}{z}=\frac{y}{t}=\frac{x y+1}{z t+1}.$ Докажите, что

$x=z$ и

$y=t$ .
комментарий/решение(1)