6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур

Найдите наименьшее число, которое является квадратом, запись которого начинается с 11 и заканчивается на 89.

Комментарий/решение

Предположим,что число $a^2=11...89$ имеет $n+2$ цифр.Тогда выполняется неравенство

$$11*10^n<a^2<12*10^n$$

Из за того ,что $11...89$ оканчивается на $9$, число $a$ оканчивается на $3$ либо на $7$.

Пусть $n$- четное число.Если $n$=2,то $1100<a^2<1200$. Значит $33<a<34$.Противоречие.Если $n$=4,то $110000<a^2<120000$. Значит $331<a<346$.В этом случие минимальное значение $a$ $333$.Число $333$ подходит.Ведь $333^2=110889$.

Пусть $n$- нечетное число.Если $n$=1,то $110<a^2<120$. Значит $10<a<11$.Противоречие .Если $n$=3,то $11000<a^2<12000$. Значит $104<a<109$.Число $107$ не подходит условию задачи.Если $n$=5,то $1100000<a^2<1200000$. Значит $1048<a<1095$.Но здесь $a$ больше $333$.Так что ответ:$110889$