6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур

Для действительных чисел $x,y$ выполнены равенства $x^2+xy+y^2=4$, $x^4+x^2y^2+y^4=8$. Найдите значение выражения $x^6+x^3y^3+y^6$.

Комментарий/решение

$x^2+xy+y^2=4$

$x^4+x^2y^2+y^4=8$

$x^6-y^6=(x^2-y^2)(x^4+x^2y^2+y^4)$

$(x^3-y^3)(x^3+y^3)=8(x-y)(x+y)$

$(x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)(x^2-xy+y^2)=8(x-y)(x+y)$

если $x=y \Rightarrow 3x^2=4; 3x^4=8$ если первое выражение возвести в квадрат поделить на 3 и прировнять выходит, что 16/3=8 противоречие $\Rightarrow x-y\ne0$

если $x=-y \Rightarrow x^2=4; x^4=8$ противоречие $\Rightarrow x+y\ne0$

$(x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)(x^2-xy+y^2)=8(x-y)(x+y)$

$4(x^2-xy+y^2)=8$

$x^2-xy+y^2=2$

$\left\{ \begin{gathered} x^2-xy+y^2=2\\ x^2+xy+y^2=4\\ \end{gathered} \right.$

$x^2+xy+y^2-(x^2-xy+y^2)=4-2$

$2xy=2$

$xy=1 \Rightarrow x^2+y^2=3; x^4+y^4=7$

$(x^2+y^2)(x^4+y^4)=3*7$

$x^6+x^2y^4+y^2x^4+y^6=21$

$x^6+y^6+x^2y^2(x^2+y^2)=21$

$x^6+y^6+1*3=21$

$x^6+y^6=18 \Rightarrow x^6+x^3y^3+y^6=19$

Отв: 19