Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур


Нақты x,y сандары үшін x2+xy+y2=4, x4+x2y2+y4=8 теңдіктері орындалады. x6+x3y3+y6 өрнегінің мәнін табыңыз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   2
1 года 9 месяца назад #

x2+xy+y2=4

x4+x2y2+y4=8

x6y6=(x2y2)(x4+x2y2+y4)

(x3y3)(x3+y3)=8(xy)(x+y)

(xy)(x2+xy+y2)(x+y)(x2xy+y2)=8(xy)(x+y)

если x=y3x2=4;3x4=8 если первое выражение возвести в квадрат поделить на 3 и прировнять выходит, что 16/3=8 противоречие xy0

если x=yx2=4;x4=8 противоречие x+y0

(xy)(x2+xy+y2)(x+y)(x2xy+y2)=8(xy)(x+y)

4(x2xy+y2)=8

x2xy+y2=2

{x2xy+y2=2x2+xy+y2=4

x2+xy+y2(x2xy+y2)=42

2xy=2

xy=1x2+y2=3;x4+y4=7

(x2+y2)(x4+y4)=37

x6+x2y4+y2x4+y6=21

x6+y6+x2y2(x2+y2)=21

x6+y6+13=21

x6+y6=18x6+x3y3+y6=19

Отв: 19