6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур
Нақты x,y сандары үшін x2+xy+y2=4, x4+x2y2+y4=8 теңдіктері орындалады. x6+x3y3+y6 өрнегінің мәнін табыңыз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
x2+xy+y2=4
x4+x2y2+y4=8
x6−y6=(x2−y2)(x4+x2y2+y4)
(x3−y3)(x3+y3)=8(x−y)(x+y)
(x−y)(x2+xy+y2)(x+y)(x2−xy+y2)=8(x−y)(x+y)
если x=y⇒3x2=4;3x4=8 если первое выражение возвести в квадрат поделить на 3 и прировнять выходит, что 16/3=8 противоречие ⇒x−y≠0
если x=−y⇒x2=4;x4=8 противоречие ⇒x+y≠0
(x−y)(x2+xy+y2)(x+y)(x2−xy+y2)=8(x−y)(x+y)
4(x2−xy+y2)=8
x2−xy+y2=2
{x2−xy+y2=2x2+xy+y2=4
x2+xy+y2−(x2−xy+y2)=4−2
2xy=2
xy=1⇒x2+y2=3;x4+y4=7
(x2+y2)(x4+y4)=3∗7
x6+x2y4+y2x4+y6=21
x6+y6+x2y2(x2+y2)=21
x6+y6+1∗3=21
x6+y6=18⇒x6+x3y3+y6=19
Отв: 19
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.