Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, II тур регионального этапа

Задача №1. Петя и Вася стартуют по круговой дорожке из одной точки в направлении против часовой стрелки. Оба бегут с постоянными скоростями, скорость Васи вдвое больше скорости Пети. Петя все время бежит против часовой стрелки, а Вася может менять направление бега, если он перед этим пробежал полкруга или больше в одном направлении. Покажите, что пока Петя бежит первый круг, Вася может трижды, не считая момента старта, поравняться (встретиться или догнать) с ним. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Зелёный хамелеон всегда говорит правду, а коричневый хамелеон врёт, после чего зеленеет. В компании из 2019 хамелеонов каждый по очереди ответил на вопрос, сколько среди них сейчас зелёных. Ответами были числа 1, 2, 3,

$\ldots,$ 2019 (в некотором порядке, не обязательно в указанном выше). Какое наибольшее число зелёных хамелеонов могло быть изначально? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1)

Задача №3. Можно ли отметить в ряду всех натуральных чисел бесконечно много чисел так, чтобы разность любых двух отмеченных чисел (где из большего вычитается меньшее) была квадратом натурального числа? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Задача №4. В строку выписано 1999 натуральных чисел. Во вторую строку под каждыми двумя соседними числами выписали их наибольший общий делитель. Аналогичным образом получили третью, четвёртую и т. д. строки. Может ли 1000-я строка состоять из 1000 последовательных чисел в некотором порядке? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Задача №5. На средней линии равностороннего треугольника

$ABC,$ параллельной стороне

$BC,$ взята точка

$D.$ Точка

$E$ на продолжении стороны

$BA$ за точку

$A$ такова, что

$\angle ECA = \angle DCA.$ Точка

$F$ на продолжении стороны

$CA$ за точку

$A$ такова, что

$\angle FBA = \angle DBA.$ Докажите, что точка

$A$ лежит на средней линии треугольника

$DEF,$ параллельной стороне

$EF.$ ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)