Эйлер атындағы олимпиада, 2019-2020 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры

Есеп №1. Петя мен Вася дөңгелек айналым жолмен сағат тіліне қарсы бағытта бір нүктеден және бір уақытта жүгіре бастайды. Олардың жылдамдықтары бірқалыпты, бірақ Васяның жылдамдығы Петянікінен екі есе көп. Петя әрдайым сағат тіліне қарсы бағытта жүреді. Ал Вася, егер ол бір бағытта жарты немесе жартыдан көп айналым жүгіріп өтсе, жүгіру бағытын өзгерте алады. Петя бірінші айналымды жүгіру кезінде, Вася, старт мезетін санамаған кезде, Петямен үш рет кездесе (тең болып немесе озып кете) алатынын көрсетіңіз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Жасыл хамелеон әрқашан шындықты айтады, ал қоңыр хамелеон өтірік айтады да, содан кейін жасыл түске айналады. 2019 хамелеондардың әрқайсысы «Араларыңда дәл қазір қанша хамелеон жасыл?» деген сұраққа кезекпен жауап берді. Сонда жауаптар 1, 2, 3, $\ldots,$ 2019 сандары болған (қандай-да бір ретте, міндетті түрде жоғарыда айтылғандай емес). Бастапқыда ең көп дегенде қанша жасыл хамелеон болуы мүмкін? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Кез келген екі белгіленген санның айырмасы (үлкен саннан кішісін азайтады) толық квадрат болатындай, барлық натурал сандар қатарында шексіз көп сандарды белгілеп шығуға болады ма? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Бір жолда 1999 натурал сандар жазылған. Осы жолдағы әр екі көрші санның астына олардың ең үлкен ортақ бөлгішін жазып шығып, екінші жолды алған. Дәл сол сияқты, үшінші, төртінші, $\ldots$ жолдардын алған. 1000-шы жолдағы сандар қандай да бір ретпен орналасқан 1000 қатар келген сандардан тұра алады ма ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Теңқабырғалы $ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасына параллель орта сызығында $D$ нүктесі белгіленген. $BA$ қабырғасының $A$ нүктесінен ары созындысынан $\angle ECA = \angle DCA$ болатындай $E$, $CA$ қабырғасының $A$ нүктесінен ары созындысынан $\angle FBA = \angle DBA$ болатындай $F$ нүктесі алынған. $A$ нүктесі $DEF$ үшбұрышының $EF$ қабырғасына параллель болатын орта сызығында жататынын дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)