Областная олимпиада по математике, 2005 год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Сравните числа

$\dfrac{{\ln 2004}}{{\ln 2005}}$ и

$\dfrac{{\ln 2005}}{{\ln 2006}}$ .
комментарий/решение(3)

Задача №2. Доказать справедливость неравенства

$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma \leq \dfrac{3\sqrt3}{2}$ , где

$\alpha, \beta, \gamma$ — внутренние углы некоторого треугольника.
комментарий/решение(2)

Задача №3. В выпуклом четырехугольнике

$ABCD$ выполнено

$AB^2+CD^2=AC^2+BD^2$ . Найдите угол между сторонами

$BC$ и

$AD$ .
комментарий/решение(3)

Задача №4. Докажите равенство

$1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 3^2 + \dots + \left( {n - 1} \right)n^2 = \frac{{n\left( {n^2 - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)}} {{12}}.$
комментарий/решение(1)

Задача №5. Исследовать на ограниченность числовую последовательность:

$x_n = 1 + \frac{1} {2} + \dots + \frac{1} {n}, (n\geq 1).$
комментарий/решение(2)

Задача №6. Докажите для любых положительных чисел

$x$ и

$y$ неравенство:

$x \cdot 2^y + y \cdot 2^{ - x} \geq x + y.$
комментарий/решение(3)

Задача №7. Найдите первообразную

$f\left( x \right) = \dfrac{{x^2 }}{{(x\sin x + \cos x})^2}$ .
комментарий/решение(3)

Задача №8. Длины сторон треугольника — неравные между собой целые числа, а меньшая высота равна 8. Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной в треугольник окружностей.
комментарий/решение(1)