Математикадан облыстық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$\dfrac{{\ln 2004}}{{\ln 2005}}$ және

$\dfrac{{\ln 2005}}{{\ln 2006}}$ сандарын салыстырыңыздар.
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Егер

$\alpha, \beta, \gamma$ шамалары үшбұрыштың бұрыштары болса, теңсіздікті дәлелдеңіздер:

$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma \leq\dfrac{3\sqrt3}{2}.$
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Дөңес

$ABCD$ төртбұрышында

$AB^2+CD^2=AC^2+BD^2$ теңдігі орындалады.

$BC$ және

$AD$ қабырғалары арасындағы бұрыштарды табыңыздар.
комментарий/решение(3)

Есеп №4. Теңдікті дәлелдеңіздер:

$1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 3^2 + \dots + \left( {n - 1} \right)n^2 = \dfrac{{n\left( {n^2 - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)}} {{12}}.$
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Сандық тізбекті шектелуіне зерттеңіз:

$x_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \dots + \dfrac{1}{n}, (n\geq 1).$
комментарий/решение(2)

Есеп №6. Кез келген

$x$ және

$y$ оң сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңіздер:

$x \cdot 2^y + y \cdot 2^{ - x} \geq x + y.$
комментарий/решение(3)

Есеп №7. Алғашқы функциясын табыңыздар:

$f\left( x \right) = \dfrac{{x^2 }}{{(x\sin x + \cos x})^2}$ .
комментарий/решение(3)

Есеп №8. Үшбұрыштың қабырғалары өзара тең емес бүтін сандар, ал кіші биіктігі 8–ге тең. Үшбұрышқа іштей және сырттай сызылған шеңберлер центрлері арақашықтығын табыңыздар.
комментарий/решение(1)