Областная олимпиада по математике, 2005 год, 11 класс

Исследовать на ограниченность числовую последовательность: $x_n = 1 + \frac{1} {2} + \dots + \frac{1} {n}, (n\geq 1).$

Комментарий/решение

Эту последовательность в математическом анализе называют гармоническим рядом. Гармонический ряд расходится. Покажем это. $\sum \limits_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{a_i}}\sim \int \limits_{1}^{\infty }{\dfrac{1\times dx}{x}}$ Известно, что первообразная будет равна натуральному логарифму. $\int \limits_{1}^{\infty }{\dfrac{1\times dx}{x}}= \mathop {\lim } \limits_{x \to \infty} ln(x)-ln 1= \infty$. То есть полученная последовательность не ограничена сверху

Также можно привести доказательство Орема, не требующее знания интегралов. $$\sum \limits_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{n}}=(1)+(\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4})+(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8})+...>(1)+(\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4})+(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8})+...=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+...$$ Отсюда следует, что правая часть неравенства бесконечна. Значит, и ряд расходится