Processing math: 50%

Областная олимпиада по математике, 2005 год, 11 класс


Исследовать на ограниченность числовую последовательность: xn=1+12++1n,(n1).
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
5 года 10 месяца назад #

Эту последовательность в математическом анализе называют гармоническим рядом. Гармонический ряд расходится. Покажем это. ni=11ai11×dxx Известно, что первообразная будет равна натуральному логарифму. 11×dxx=lim. То есть полученная последовательность не ограничена сверху

  2
5 года 1 месяца назад #

Также можно привести доказательство Орема, не требующее знания интегралов. \sum \limits_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{n}}=(1)+(\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4})+(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8})+...>(1)+(\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4})+(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8})+...=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+... Отсюда следует, что правая часть неравенства бесконечна. Значит, и ряд расходится