Областная олимпиада по математике, 2005 год, 11 класс


Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1.  Сравните числа $\dfrac{{\ln 2004}}{{\ln 2005}}$ и $\dfrac{{\ln 2005}}{{\ln 2006}}$.
комментарий/решение(3)
Задача №2.  Доказать справедливость неравенства $\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma \leq \dfrac{3\sqrt3}{2}$, где $\alpha, \beta, \gamma$ — внутренние углы некоторого треугольника.
комментарий/решение(2)
Задача №3. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполнено $AB^2+CD^2=AC^2+BD^2$. Найдите угол между сторонами $BC$ и $AD$.
комментарий/решение(3)
Задача №4.  Докажите равенство $ 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 3^2 + \dots + \left( {n - 1} \right)n^2 = \frac{{n\left( {n^2 - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)}} {{12}}. $
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Исследовать на ограниченность числовую последовательность: $ x_n = 1 + \frac{1} {2} + \dots + \frac{1} {n}, (n\geq 1). $
комментарий/решение(2)
Задача №6.  Докажите для любых положительных чисел $x$ и $y$ неравенство: $x \cdot 2^y + y \cdot 2^{ - x} \geq x + y.$
комментарий/решение(3)
Задача №7.  Найдите первообразную $f\left( x \right) = \dfrac{{x^2 }}{{(x\sin x + \cos x})^2}$.
комментарий/решение(3)
Задача №8.  Длины сторон треугольника — неравные между собой целые числа, а меньшая высота равна 8. Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной в треугольник окружностей.
комментарий/решение(1)