Областная олимпиада по математике, 2005 год, 11 класс

Найдите первообразную $f\left( x \right) = \dfrac{{x^2 }}{{(x\sin x + \cos x})^2}$.

Комментарий/решение

Ответ :$\dfrac{x^3}{3 (x\sin x +\cos x)(x\sin x+\cos x-x^2\cos x)} $;

Решение. $f (x)=(\dfrac{x}{x\sin x+\cos x})^2$

$F(x)=\dfrac{(\dfrac{x}{x\sin x+\cos x })^3}{3}\cdot{\dfrac {1}{(\dfrac{x}{x\sin x +\cos x })'}}$;

Производную можно вычислить, опираясь на школьную программу.

Что то h_тут@http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x%5E2%2F(xsinx%2Bcosx)%5E2_h или h_тут@http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx+x%5E3%2F(3(xsinx%2Bcosx)(xsinx%2Bcosx-x%5E2cosx))_h не так.

Решение.

Заметим, что $(x\sin x+\cos x)'=x\cos x$. Тогда, учитывая, что:

$\dfrac{x^2}{ (x\sin x+\cos x)^2}=\dfrac{x}{\cos x}*\dfrac{x\cos x}{(x\sin x+\cos x)^2}$,

Проинтегрируем по частям:

$(\dfrac{x}{\cos x})'=\dfrac{\cos x+x\sin x}{\cos^2x}$,

$\int \dfrac{x\cos x}{(x\sin x+\cos x)^2}dx=\int\dfrac{1}{(x\sin x+\cos x)^2}d(x\sin x+\cos x)=-\dfrac{1}{(x\sin x+\cos x)}$.

Наконец, отсюда:

$\int \dfrac{x^2}{ (x\sin x+\cos x)^2}dx=(\dfrac{x}{\cos x})*(-\dfrac{1}{(x\sin x+\cos x)}))-\int \dfrac{\cos x+x\sin x}{\cos^2x}*(-\dfrac{1}{(x\sin x+\cos x)})dx=$

$=\dfrac{-x}{\cos x(x\sin x+\cos x)}+\int \dfrac{1}{\cos^2 x}dx=\dfrac{-x}{\cos x(x\sin x+\cos x)}+\tan x=\dfrac{-x}{\cos x(x\sin x+\cos x)}+\dfrac{\sin x}{\cos x}=$

$=\dfrac{-x+x\sin^2 x+\sin x\cos x}{\cos x(x\sin x+\cos x)}=\dfrac{-x\cos^2 x+\sin x\cos x}{\cos x(x\sin x+\cos x)}=\dfrac{-x\cos x+\sin x}{x\sin x+\cos x}+C$.

Ответ: $\dfrac{-x\cos x+\sin x}{x\sin x+\cos x}+C$.